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下面这个被奇怪分割的饼状图描绘的是群体数为1万人的真实统计数据，从中你可以得到（大概）的百分比。被标记49和99的那两部分都是化验结果是阳性的人群。由于你在这两类中的其中一种内，但是你并不知道在哪个人群中（见图2.2），因此你患病的概率是1/3，这正是贝叶斯定理预言的结果。对于更一般的情况，+可以用I代替，意思是新的信息，表情符号L用E，意思是某事件。做了这些替换之后，再将等式两边同时除以P（I），我们就得到了贝叶斯定理的常见的形式：
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p（I→E）=p（E）×p（E→I）/p（I）
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在某种程度上来说，这两个条目组成了汉堡的牛排和芝士，而另外两个则组成了汉堡的小面包。等式右边第一项p（E）指没考虑新的信息I时事件E发生的概率。由于这个原因p（E）也被称为先验概率（prior probability）。有时它只是开始不知情状况下的一个猜想，我们期待着反复使用贝叶斯定理可以不断改善它。等式左右边的p（I→E）指事件E在获取新的信息I之后修正过的新（或者后验）概率。另外两项则影响着修正过程。通过简单的规则不断修正先验概率是贝叶斯概率的核心[3]。
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在上面那个癌症例子中，接到医生的电话之前你自己对患病概率的估计——先验概率——是0.5%。知道化验结果之后，你担心自己患病概率几乎上升为100%，这也是不正确的。贝叶斯定理显示这个概率被修正为33%。
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贝叶斯定理的强大之处在于它能够将不同来源的信息组合起来。频率论除了对一些均匀的数据集合外很难做到这一点。上面的例子中先验概率源于人群中大规模的统计研究，然而癌症化验的准确性大概是基于一些特定的临床试验。贝叶斯定理的计算不仅可以利用一些数据资料，甚至历史或者直觉都能帮助代理人选择先验概率然后不断修正。上一节那个会堂中的赌徒例子，据说他连续100次都是正面向上，因此我才会决定不和他赌博，这说明了现实生活中引入新的信息并改变相应的概率估计是非常有用的，只要把概率定义为置信程度。
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相比于频率论，贝叶斯理论更普遍，逻辑清楚，且用途广泛，因此它渐渐被接纳为概率基本的解释。气候学对唯一的大气层做出预测，需要从各种各样的来源收集证据和信息，贝叶斯概率理论则是经常被用到的数学工具。其他学科，包括社会科学、生物学、药学和工程学，都在用贝叶斯概率。频率论中简单的公式“事件发生次数除以总试验次数”可以得到概率的数值，但是贝叶斯理论提供了这些数字的真正的含义。下面这个测量一张奇怪形状纸的面积的例子能展现测定和定义的本质差别：虽然面积可以通过纸的重量（单位：克）除以密度（单位：克/平方米）得到，但面积的含义是完全几何的，与重量和密度无关。
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前面我们已经知道，量子力学在根本上也是依赖于概率的，让我们拭目以待，当贝叶斯概率遇上量子力学会碰撞出什么火花？
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[1]英文Bayes’是Bayes’s和Bayes折中后的形式。
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[2]可参考W.T.Eadie,D.Drijard,F.E.James,M.Roos,and B.Sadoulet,Statistical Methods in Experimental Physics(Geneva,Switzerland
:CERN,1971)。
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[3]需要指出的是，当先验概率是0或者1时，新的信息并不会改变它。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第三章 量子贝叶斯理论
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第11节 量子贝叶斯理论使事情明晰
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就像水面宽阔的河流在流向大海的过程中是通过吸收很多小溪小河逐渐变大一样，科学也在兼收并蓄着各种新的数据和知识的细流中前进。形成鲜明对比的是，量子贝叶斯理论则是汇聚了两条大的支流。21世纪初，作为一门古老而又复杂的学科，量子力学和始于18世纪、最近复兴的数学分支——贝叶斯概率结合起来，形成各种已经确定的知识的汇集。量子贝叶斯理论的创造者既没有创造Q也没有发明B，而是将它们结合在一起，不仅对量子力学本身，而且对一般的科学世界观也有着深远的影响。
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量子贝叶斯理论的基本论点很简单：量子概率是个人置信程度的数值衡量。
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如果你不曾听过贝叶斯概率，那么这个命题看上去会很奇怪。科学的整个关键不就是排除主观性而支持一般性吗？难道信念不是知识的对立面，因而也是科学的对立面吗？这是在看到发表于2012年的量子贝叶斯理论奠基文章时大部分物理学家的反应，也是在闻知它的时候我的感受。这篇文章开门见山地在文章名字“量子概率作为贝叶斯概率”中宣告了它那令人吃惊的结论。
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从频率论转换到贝叶斯概率的解释，这个决定是源于某种成本/效益的分析。一方面，询问下面这个问题是很公平的：在这个变化中你得到了什么？另一方面，它的副作用是什么？采取这种飞跃的代价是什么？
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采用量子贝叶斯理论的代价并没有它看上去那么大，因为贝叶斯理论有充分的根据。以个人对打赌胜算来解释概率，尽管对大部分人来说最初会感到不安，但是它不仅比频率概率更早，也在大部分不相同的领域中逐渐被越来越多的科学家和工程师采用。它已经存续了数个世纪，且在数不清的重大应用中都经受住了检验。对它熟悉之后，它就一点也不奇怪了。
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从积极的方面说，量子贝叶斯理论提供了相当多的益处，其中最令人信服的莫过于解决了令人烦恼的波函数塌缩问题。在传统量子力学中，波函数塌缩的直接原因一直悬而未决。它在时间与空间中是如何发生的，并没有数学描述，而在经典物理中，其他的每一个过程都有这种描述。力学的、电的、磁的、光的、声的以及热的扰动是如何从一个点传播到另一个点，以及影响附近和远处的物体，都能以非常严谨的数学方程展现出来。即使将我们束缚在一起的引力效应，也可以通过广义相对论烦琐的数学方程，从我们这里开始逐步地到达某个星体然后再传播回来理解。但是波函数的塌缩依旧是不可思议的，如同扎在数学物理中的一根刺。
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量子贝叶斯理论轻松而且优雅地解决了这个问题。在任何实验中，计算好的波函数为随后的实证观测提供了先验概率。一旦做出观测，比如，粒子留下痕迹，探测器有撞击，确定自旋方向，操作实验的代理人就获得了新的信息。利用这些信息，代理人只是瞬间地更新它的概率以及波函数，并没有什么神奇的事情。塌缩去除了它的神秘之处。贝叶斯定理描述了这个过程，并最终使失去的这部分显现出来。
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实现这个过程的方式是如此直观。考虑一个例子：在纽约的爱丽丝，拿起两张扑克，一张黑的，一张红的，并将它们装进两个独立的无标记的信封中，密封好后重新洗牌。为了确保它们不可区分，她也让鲍勃去洗牌。她保留一个信封在她手袋中并将另一个交给鲍勃。然后爱丽丝前往澳大利亚，在她打开信封之前，相信鲍勃拥有红牌的概率是50%。一旦抵达澳大利亚，只要打开她自己的信封，她就会知道一万两千英里之外的鲍勃的信封中装的是什么，这时她的置信程度就瞬间变成了100%或0。同时，不论爱丽丝手中是什么，鲍勃关于爱丽丝手中卡牌颜色的猜测不会因她的行为而改变。这里没有什么奇迹发生。
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量子波函数的塌缩遵循着相同的逻辑，但是有一个很重要的区别。在经典的例子中，由始至终，因果链都不曾被打破。一个客观物体，以被密封在信封中的卡牌的形式，在爱丽丝的手袋中携带着信息。卡牌就像一个神秘的信使——物理学家所称的携带着一些红值或黑值的隐变量（hidden variable）的一个例子。在经典物理中，爱丽丝的无视掩盖了这个值，但是原则上，她可以在旅途中任何时间打开信封，从而得到这个值。在量子力学中，信封中没有卡牌，没有客观的机制去携带秘密信息，也没有隐变量。甚至在原则上，我们也没有办法弄清电子在哪里，以及在它被撞击和被探测到这段时间内它自旋的指向。事实上，隐变量不存在是可以而且已经在实验中证实的一个断言，我们将在下文中得到这个结论。
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当我开始理解量子贝叶斯理论时，以及意识到仅仅通过给概率一个更好的定义，我就可以不用再苦苦思考波函数塌缩的意义了，我突然有一种释放并且接近于愉悦的感觉。“当然，”我对自己说道，“这就是它如何运作的。”这是一种不期而遇且不应有的启蒙的美好感觉，也是我个人的那种“啊，有了”的时刻。
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就像将波函数塌缩解释成简简单单的概率更新是不够的，量子贝叶斯理论完成了另外一个同等有意义的澄清。在1961年，恰好是我开始职业生涯的时候，量子力学先驱之一尤金·魏格纳（Eugene Wigner，1902—1995）指出了一个量子力学基础上的模糊之处，它被熟知为魏格纳的友人悖论（paradox of Wigners’friend），它也可以被等价称为“总之，它是谁的波函数”？魏格纳和他的朋友一起做实验，并且他们都同意一个电子自旋可以由一个自旋向上和向下叠加态的量子位波函数描述。实验运行后，计数器记录结果。他的朋友读取计数器，而魏格纳背对着仪器，直到知道实验结束。他的朋友知道波函数已经塌缩到自旋向上的结果。另外，魏格纳知道测量已经结束但是不知道结果。如之前那样，他所分配的波函数是两个可能结果的叠加，但是现在他将电子的量子位和计数器的读数以及他朋友对读数的信息联系在一起，而这个信息魏格纳却不知道。
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