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在一段时间内，理论家将他们对簇射的讨论用元素过程序列来表示，在这样的过程中，电子和正电子湮灭产生光子，或在轫致辐射中由加速电子辐射产生光子：
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电子-正电子对湮灭；→光子→产生电子-正电子对。
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“轫致辐射”
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然而，并没有人进行过定量分析。因此，两人相信根据定性方法，“（他们）一方面会推导出对理论公式的定性确定的进一步论证，另一方面会对这一经常被重复的建议进行进一步论证：许多簇射是通过长期连续的简单元素过程组合起来的，而非由单次元素行为中大量粒子的同时喷射造成”。[1]之前对簇射的定量分析仅仅是对这一可能性的迭代计算：光子产生电子-正电子对或光化电离释放电子的概率与电子辐射出光子的概率间的乘积，等等。
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对于复杂的簇射而言，此类过程很快变得难以操作。因此，卡尔森和奥本海默希望可以将簇射视为与烟雾在气体中的扩散或墨滴在水中的扩散类似的扩散过程，进而对问题进行简化。以下的论证是他们的首次估算。在电子对的产生和辐射过程中，每条入射射线产生了两束射线。两种过程产生时的物质深度几乎相同，他们将其写为t=1。在超过t的深度中，显示出的粒子数约为2t（见图3.9）。鉴于其中的一半为电子，在单位长度dt中的能量总损失将等于粒子数量与单位长度中单个损耗率əE/ət的乘积：
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簇射在损失了所有能量E0之后将会结束，即穿过距离T后
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若əE/ət=β，约为常数，则有
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或
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因此，①簇射长度T仅随着E0呈对数增长；②粒子数量2T将随E0增长呈近似直线增长；③对于约含30个粒子的簇射而言，T=ln230，约等于5。铅的互作用长度约为0.5厘米，因此铅的最大值约2.5厘米，同观察到的最大值具有较佳的相符度。
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图3.9 电子对的产生和轫致辐射。根据卡尔森和奥本海默的观点，绝大多数的极复杂簇射可以简单地理解为两种元素过程的迭代发生：一是电子对的产生，光子使得电子和正电子离开真空；二是轫致辐射，电子辐射出光子，产生电子和光子。
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这些简单的计算连同更为精确的扩散方程共同显示出，通过电子对产生和辐射等元素过程的逐步增强，量子论可以精确地表现出簇射的多种定量特性。然而，若穿透粒子为电子，则该理论认为电子应被20厘米厚的铅板完全吸收，很明显这是错的。奥本海默和卡尔森描述了这一论证的惊人结果：
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通过论证可以得出结论：在宇宙射线能量领域，对这些过程概率的理论估计并不适用，抑或这些射线的真正穿透情况必须归结为电子和光子以外的成分的存在。第二个选项必然是根本性的。这是因为云室和计数器实验显示，与负电子带同样电荷的粒子属于辐射的穿透性部分；若它们不是电子，必定是物理学中未知的粒子。[2]
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鉴于簇射已经成功获得了量子学解释，现在这些“物理学中未知的”粒子成为了主要问题。正如奥本海默所理解的那样，“只有承认了（宇宙射线中的）另一种成分的存在，并且对它而言分析并不适用”[3]，他对簇射的研究才有了依据。之前μ介子的研究结果足可以称为是一个“发现”，与此类似，我们也可以说奥本海默是首个“发现”μ介子的人。他将簇射的一般形态同他的现象学计算进行了对照，对于带有电子的簇射粒子之辨别他自有一套说辞，穿透粒子的表现同电子或质子并无相似性已成为了普遍共识。到底真的存在一种根本性的新实体吗？实验家们认为答案是否定的。他们需要更为直接的论证：贝特-海特勒理论同簇射粒子情况相符，而穿透粒子与其不符。
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[1] Carlson and Oppenheimer.“Showers.”Phys.Rev.51（1936）：220-221.簇射计算由巴巴和海特勒独立完成，参见Bhabha and Heitler，“Passage，”Nature 138（1936）：401.
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[2] Carlson and Oppenheimer，“Showers，”Phys.Rev.51（1936），220.
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[3] Carlson and Oppenheimer，“Showers，”Phys.Rev.51（1936），221.
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