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当时的外尔不仅仅是爱因斯坦理论的热心宣扬者和追随者，也被认为是20世纪最有影响力的全才数学家之一，是早期普林斯顿高等研究院的重要成员。他的许多研究工作，对理论物理和纯数学领域，都产生了重要的影响。
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外尔对黎曼几何的质疑，从考察平行移动[4]，[49]的概念开始。
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平行移动的意思就是说，你在空间中缓慢地移动，无论前进、后退、左移、还是右移，你的脸总朝着一个固定的方向，不能转动。当你如此“平行移动”一圈后回到原处时，你一定认为你的脸的朝向是和原来出发时一样的。如果你在地面上作小范围的移动，的确如此。但是，如果你在地球上移动的范围很大，情况就不一样了，其原因是因为地球是一个球面，是弯曲的。
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图1-6-2 平行移动
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矢量平行移动一圈之后回到原点时，方向不一定和原来方向一致。这取决于移动的空间是平坦的还是弯曲的。如图1-6-2（a）中所示，一个矢量A沿着莫比乌斯带向左移动，开始移动时的矢量A垂直于莫比乌斯带，方向向外。移动一圈之后回到出发点时的最后矢量用B表示。从图中可以看到，B的方向向内，因而矢量在莫比乌斯带上移动一圈后的方向与开始的方向相反。图1-6-2（b）描述了球面上的平行移动。女孩从北极（点1）出发，沿着路线（1-2-3-4-5-6-7）到7（也是北极）。在移动过程中，女孩一直保持她的脸朝向“南”，最后到达7。点7和点1是同一个点，都是北极。在点7，她的脸仍然朝“南”，但是比较一下出发时的方向，可以发现女孩的脸的朝向，已经改变了90°。
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矢量绕着闭合曲线平行移动一周后方向改变的数值，与回路所包围空间的弯曲情况（曲率）有关。这是黎曼几何所描述的弯曲空间的性质。但外尔对黎曼几何的这一点不够满意，因为在黎曼几何的平行移动中，矢量的方向改变了，但长度却没有任何变化。无论空间怎么弯曲，无论你沿着哪条曲线移动，矢量的长度都不会改变。外尔的方法便是在改变方向的同时，使长度也改变。
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如何使长度发生改变呢？外尔的方法是在度规上加了一个因子。
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如何才能使得平行移动后的矢量方向和大小都改变呢？外尔通过在黎曼度规中，乘上一个任意的标量尺度因子λ（x）来实现这一点，比如，对闵可夫斯基二维空间：
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ds2＝λ（x）（dt2-dx2）
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如果是一般弯曲的黎曼空间，度规有更复杂的形式，但原则上是一样的，乘上一个尺度因子λ（x）而已。
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外尔并不是随便地给黎曼度规加上一个莫名其妙的任意尺度因子，他的最终目的是要用他的数学模型来实现引力和电磁场的统一。他试图以平行移动时矢量的长度变化为代价，得到一个任意函数λ（x），正是这个函数的“任意性”，提供了某种几何上的自由度，以使得能够将电磁场容纳在这种几何之内。
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那时候，物理学家们已经使用四维电磁势A来描述电磁场。外尔的直觉告诉他，电磁势A是比电磁场的场强E和B更为基本的物理量。并且，对应于同样的电磁场，电磁势可以有不同的选择，这种选择的自由度为他提供了一个可能性：将电磁势A与他的标度因子λ（x）关联起来。
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首先，我们可以将外尔的标度变换写成如下形式：λ（x）＝eθ（x）。当我们选择特殊的标度函数θ（x）≡0，亦即λ（x）≡1时，便从外尔的标度几何回到了黎曼几何的情况。因此，外尔假设他的几何中的度量关系由两个基本型决定，其一是原来的二次式黎曼度规；第二个基本型是一个矢量A。
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采取第一个基本型的原因是因为黎曼度规必须保留，如此才能导出爱因斯坦的引力场方程，以便使理论适合广义相对论；第二个基本型中的矢量，便对应于四维电磁矢量势A。正如刚才提到的，对确定的电磁场E和B而言，四维电磁势A并不是唯一的，在这里就对应于外尔定义的标度变换：当时空度规乘以eθ（x）时，四维电磁势A变成A-∂θ（x）。
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上述变换实际上就是后来人们所说的“规范变换”。今天我们所用的规范一词，比如规范不变性（gauge invariance），就是从外尔几何中的标度不变性（eich invarianz）翻译而来。外尔在黎曼几何二次型度规的基础上，加上了一个一次形式来包容电磁场，这在数学上看起来是非常美妙的一招，并且还有它的“纯粹无穷小几何”之解释，也闪耀着新思想的火花。因此，外尔兴致勃勃地将他的文章寄给了爱因斯坦，但得到的反馈却不怎么样。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度，强烈批评这篇文章脱离了物理的真实性。因为从物理上讲，外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ（x），即相当于在四维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，这在物理上是不可能被接受的。
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爱因斯坦在给外尔回信中认为，当人们利用标尺和时钟的测量结果来定义ds时，不存在任何不确定性。假若在大自然中真有外尔假设的任意标度函数的话，就不会存在带有确定频率谱线的化学元素，两个在空间上邻近的同类原子的相对频率必然会不同。而事实情况不是这样，所以，该理论的基本假设不可取，尽管每一位读者初看时都会由衷地赞叹它数学上的深刻性与独创性。
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面对爱因斯坦的反对意见，外尔感到十分失望和落寞。他以朋友海塞的小说《荒原狼》的主人翁自比，他在给爱因斯坦的回信中说：“我们之间已经战斧高悬，但仍然阻挡不了我对您真诚的敬意。”这只“孤独的狼”并未放弃他的理论，而是进一步地深入探讨黎曼几何中度量的本质，以及仿射联络空间等概念，以使他的几何有更为牢靠的数学理论基础。外尔坚信：数学理论上简洁而美妙的东西必将有它揭示出深奥物理内容的一天。他曾经半开玩笑地说过一句名言：“我的工作总是努力将真与美统一起来；但是，如果只能选择其中之一，那么我选择美。”这句话充分表现了外尔作为数学家的独特而与众不同的审美观，以及他对自然规律必然具有数学美的深刻信念。
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外尔试图统一引力和电磁场的尝试，当然是失败了。这点没有什么可责难的，实际上直到现在也没有一个令人满意的理论将引力和其他三种相互作用（包括电磁作用）统一在一起。但当量子力学进一步发展起来之后，外尔几何以一种修正的形式在现代物理中发挥了大用途，对此我们将在第三篇中介绍。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970757]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 第二篇 奇妙的量子世界
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爱因斯坦虽然参与了创建量子力学，但对这个理论始终持怀疑态度，他的统一梦也是试图建立在经典场的基础上。不过，近代物理学家在统一大业上的努力，却少不了量子理论。因此，本篇中简要地回顾一下量子物理的相关内容。
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