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玻尔担任哥本哈根大学理论物理研究所（之后的玻尔研究所）所长一职40年，培养学生无数，桃李满天下。20世纪30年代的玻尔研究所是物理学家荟萃的地方，为量子力学的发展作出了巨大贡献。世界各地的物理学家，向朝圣一样地来到研究所拜会玻尔，许多诺贝尔物理奖得主都在这里工作过。说当时的哥本哈根是世界物理的中心一点也不为过，玻尔就是这个中心的灵魂。
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笔者在奥斯丁时，曾经多次拜访物理学家约翰·惠勒，听他讲述当年与玻尔和爱因斯坦共事时两位大师的逸闻趣事[6]。
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惠勒博士毕业后，便慕名去哥本哈根投奔到玻尔旗下，当时他才21岁。20世纪30年代，以玻尔为代表的一帮量子力学人马，正将研究的注意力转移到原子核结构问题上。后来（1939年左右），惠勒又在美国与玻尔共事，研究原子核裂变的液滴模型，为之后美国科学家理解核裂变过程、研制原子弹奠定了理论基础。第二次世界大战期间，惠勒和玻尔都参与到曼哈顿计划中，解决了反应堆的设计和控制问题。
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在访谈中，惠勒对当初的玻尔研究所活跃的学术空气十分欣赏：“早期的玻尔研究所，楼房大小不及一家私人住宅，人员通常只有五位。但它却不愧是当时物理学界的先驱，叱咤着量子理论的一代风云。在那里，各种思想的新颖和活跃，在古今的研究中是罕见的。尤其是每天早晨的讨论会，既有发人深省的真知灼见，也有贻笑大方的狂想谬误，既有严谨的学术报告，也有热烈的自由争论。然而，所谓地位的显赫、名人的威权、家长的说教、门户的偏见，在那斗室之中，却是没有任何立足之处的。”
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根据惠勒的回忆，研究所里的讨论会很少是由报告人干巴巴地将准备的内容讲完之后人们才发言的。一般来说，当报告进行了5分钟或十几分钟之后，便有人开始提问题，大多数时候是玻尔本人。这种讨论的气氛一直伴随着报告，直到结束。因为对玻尔来说，物理报告，只有当它们能引起出人意料的谬误，或者显现出漂亮的真理时，才会使人觉得有趣而听完。没有难以解决的矛盾和佯谬，就不可能有任何科学的进步。
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惠勒还提到玻尔为世界和平所做的努力：“玻尔曾经写信给联合国，希望联合国要为实现一个开放的世界而努力。他认为一个和平的世界首先必须是一个开放的世界。他所说的开放是指世界上每个人都应该能自由地访问别的国家，这样有利于促进人类各民族之间的相互理解。”
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惠勒回到美国后，成为普林斯顿大学的教授，一直到退休。因此，他与当时在普林斯顿高等研究院的爱因斯坦接触频繁，经常带学生去拜访爱因斯坦。事实上，爱因斯坦逝世后，惠勒成为普林斯顿大学，乃至世界范围内的相对论的带头人。他首创“黑洞”一词，对引力坍缩的研究做出了杰出的贡献。每个相对论或天体物理工作者的案头，都必备惠勒的力作——《引力》。此外，惠勒先生还培养出不少优秀的学生，获物理学诺贝尔奖的费曼便是一个典型的例子。
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惠勒曾经说到玻尔和爱因斯坦有关量子力学的那场世纪之争，这场争论持续近30年之久。玻尔和爱因斯坦实际上是非常好的朋友，每次从欧洲来到普林斯顿，玻尔都要尽快地拜会爱因斯坦，讨论物理和永无休止的辩论。惠勒曾经对笔者兴致勃勃地提起他目睹的一幕有趣景象。
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惠勒说，普林斯顿大学曾经想给爱因斯坦立个塑像。什么形象能代表爱因斯坦的个性呢？有人建议爱因斯坦弯腰给一个小女孩讲故事，来表现爱因斯坦的好奇和童心。可惠勒说他见证了一个真实有趣的场面，但是没有艺术家敢于表现。那是某年的夏天，普林斯顿热浪滚滚，惠勒随同玻尔去到爱因斯坦住所。两个老朋友见面时时至中午，爱因斯坦正在沙发上午睡。他一见到玻尔就翻身起来，两人立刻辩论得忘乎所以。直到惠勒发现爱因斯坦竟然一丝不挂，而旁边的玻尔也完全没想到要提醒爱因斯坦先穿上衣服！
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970762]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 5．狄拉克玩数学
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保罗·狄拉克（Paul Dirac，1902—1984年）是英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。他开创的量子电动力学，是第一个成功的量子场论，使他成为统一路上举足轻重的人物。
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当时的薛定谔试图建造相对论的电子运动方程未能成功，只好退一步弄了一个非相对论的薛定谔方程。虽然也让众多物理学家们耳目一新，但毕竟遗憾地没有将大家热衷的相对论效应包括在内。敏感的狄拉克意识到，麻烦的根源是因为哈密顿算符的相对论形式中的那个能量平方项（E2）：E2＝p2c2＋m2c4。而在经典力学的总能量公式中，能量E是简单的一次项：
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当我们将E用它相应的微分算符（iℏ∂/∂t）代替时，与经典力学公式对应的薛定谔方程是时间的1阶微分方程。如果用类似的方法，相对论的电子方程中便会出现对时间的2阶微商：（-ℏ2∂2/∂t2）。正是这个对时间2阶微商的方程造成了薛定谔相对论电子方程的失败。
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所以，狄拉克的目标是要得到一个只有时间1阶微商的相对论方程。狄拉克由此而产生一个想法：对能量平方算符（E2）来一个开方运算！
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开方运算有时候产生很奇妙的效果。比如说，负数（-1）本来是不能开方的，但是数学家们由此而定义了一个纯虚数i，继而引进了复数的概念。复数在数学及物理等领域中，可以算是掀起了一场革命。
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复数在量子力学中不可或缺。数学物理中有许多奇妙之事，不知道是大自然本身的奇妙，还是因人类发现了它们的奇妙。总而言之，有些概念仔细推敲起来使人目瞪口呆、无话可说，只能连呼三声：“神奇”。
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如果能与外星人对话的话。你要问他们些什么问题？对电气工程师而言，可能会问：“你们星球是不是也用电作为主要的能源啊？”物理学家可能会用怀疑的眼光想象着他（它）们，关心他们是否是由反物质组成的？数学家们会问些什么呢？当我们将这个数学物理小书写到此处时，最想要问的问题是：“你们是不是也用复数啊？”“你们认识这个i（-1的平方根）吗？”
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当i这个东西被法国著名哲学家、数学家笛卡儿第一次正式发明出来，登上了历史舞台之后，就在数学和物理理论中扮演着一个神奇的角色。欧拉在1748年发现的欧拉恒等式，更是以一种简洁奇妙的形式，将这个纯虚数与其他数学常数联系起来，令人震撼不已：eiπ＋1＝0。
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物理学家费曼称欧拉恒等式为“数学中最奇妙的公式”。是啊，凭什么它把这5个最基本的数学常数：1、0、e、i、π，如此简洁地联系在一起？还包括了像π＝3.141592653……，e＝2.718281828……这种奇怪的超越数？
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到了物理学家们研究量子的年代，纯虚数i的角色就更重要了。它似乎与量子力学有着一种奇怪的渊源。我们在别的领域也使用复数，比如说，经典物理中用复数表示波动；电子工程中的各种计算，也经常使用复数而得以简化，但在那些情况中复数经常是为了方便而被引入，最后结果仍然是用实数表示。量子力学不同，复数似乎是一种必须要用的东西。这点大概也和几何相的重要性联系在一块儿。为什么量子力学一定需要这个人为造出来的玩意儿呢？杨振宁在他的一次演讲中曾经提到过这个问题[7]。看来，这其中更深一层的奥妙，物理学的大师们也似乎还未弄清楚。
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在我们定义的量子算符中也包含了这个i，其原因是为了保证量子算符是厄密算符。量子理论与经典理论的一个重要区别就是物理量的算符化。在经典物理中也使用算符，比如平移算符、旋转算符等，但是与复数的使用类似，算符对经典物理而言，是为了方便，对量子力学而言却是不可或缺的。因为在经典物理学中，诸如粒子的坐标、动量、能量、角动量等力学量，理论上有明确的定义，实验测量有确定的数值。而在量子力学中，即使研究的对象只有1个粒子，它的运动也需要用弥漫整个时空的波函数来描述。因此，物理量的经典概念必须加以改造方能使用，算符化便是一种改造方式。也就是说，量子理论中的物理量被作用在波函数上的算符所替代，这样更容易描述量子规律。在量子理论的统计诠释下，每次实验测到的物理量数值不是确定的，而只是以一定几率出现的算符的本征值中的1个。
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