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1700971540 因此,这些算符的本征值应该为实数,才能在量子力学中描述与经典物理量相对应的可观测量。厄密算符便符合这个条件,厄密算符的表示矩阵是厄密矩阵,它的特点是等于自己的共轭转置矩阵,并且本征值为实数。
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1700971542 狄拉克追求数学美,将复数及算符都玩得团团转。那段时间,他冥思苦想的是,如何避免这个2阶微商?是否可以将能量平方算符开方?
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1700971544 根据乔治·伽莫夫(George Gamow,1904—1968年)的回忆,在1928年一个寒冷的夜晚,当狄拉克坐在剑桥圣约翰学院一间酒吧的壁炉前冥思苦想时,突然灵光一闪,发现了这个问题的答案。他将相对论形式的算符表达式作了一个形式上的“开方”运算,因此而得到:
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1700971549 中使用了自然单位,即令光速c=1。这样一来,左边变成了E的一次项,能够类似薛定谔方程那样,使用对时间的1阶微分来构建方程。
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1700971551 然后,狄拉克想了一个巧妙的办法来处理上面公式右侧根号内的量子算符。狄拉克假设这个算符表达式是另一个算符表达式的完全平方,比如:
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1700971553 p2+m2=(α1px+α2py+α3pz+βm)2  (2-2)
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1700971555 在式(2-2)的右边,因为动量算符p对应的是三维空间的矢量,我们将p用它的3个算符分量px、py、pz代替,符号α1、α2、α3、β分别表示4个未知的算符。尽管普通的实数或者复数也可以看作是算符,但是上式中引入的α和β显而易见不能被表示为实数或复数,因为实数或复数是互相对易的。那么,是否可以用互不对易的(n×n)矩阵来表示这几个算符呢?
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1700971557 在薛定谔方程中,算符作用在电子的标量波函数ψ(x,t)上,如果将算符α、β用(n×n)的矩阵表示的话,矩阵的作用对象——波函数,便应该相应地扩展成为一个n个函数的波函数矢量。当年的狄拉克是在1928年思考这些问题的。就在1年前,物理学家泡利用了3个二维矩阵成功地描述了非相对论电子的自旋角动量。也许是受到了泡利矩阵的启发,狄拉克从直觉上意识到他的方程中的α、β矩阵和泡利矩阵可能有某种关联。但是,泡利矩阵是3个二维矩阵,所以狄拉克的α、β算符不应该是二维矩阵,考虑要包容3个2×2的泡利矩阵。狄拉克将他的方程中的α和β的维数定为4。如此一来,算符用4×4矩阵表示的话,狄拉克方程的解则应该是一个4个分量的函数列{ψ1(x,t),ψ2(x,t),ψ3(x,t),ψ4(x,t)}。这个列函数的性质不同于通常意义下的矢量,因而狄拉克给它取了个新名字,叫做“旋量”。
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1700971559 于是,狄拉克将公式右边包含p和α、β的二项式展开,与等式的左边比较后,得到了他的4×4的α1、α2、α3、β矩阵必须满足的3个条件:
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1700971561 (αi)2=β2=I(4×4单位矩阵)
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1700971569 αiαj+αjαi=0
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1700971577 αiβ+βαi=0
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1700971585 上面条件中的i,j=1、2、3。然后,狄拉克进一步找到了满足上述条件的α、β矩阵,并且导出了狄拉克方程[8]:
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