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在式（2-2）的右边，因为动量算符p对应的是三维空间的矢量，我们将p用它的3个算符分量px、py、pz代替，符号α1、α2、α3、β分别表示4个未知的算符。尽管普通的实数或者复数也可以看作是算符，但是上式中引入的α和β显而易见不能被表示为实数或复数，因为实数或复数是互相对易的。那么，是否可以用互不对易的（n×n）矩阵来表示这几个算符呢？
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在薛定谔方程中，算符作用在电子的标量波函数ψ（x，t）上，如果将算符α、β用（n×n）的矩阵表示的话，矩阵的作用对象——波函数，便应该相应地扩展成为一个n个函数的波函数矢量。当年的狄拉克是在1928年思考这些问题的。就在1年前，物理学家泡利用了3个二维矩阵成功地描述了非相对论电子的自旋角动量。也许是受到了泡利矩阵的启发，狄拉克从直觉上意识到他的方程中的α、β矩阵和泡利矩阵可能有某种关联。但是，泡利矩阵是3个二维矩阵，所以狄拉克的α、β算符不应该是二维矩阵，考虑要包容3个2×2的泡利矩阵。狄拉克将他的方程中的α和β的维数定为4。如此一来，算符用4×4矩阵表示的话，狄拉克方程的解则应该是一个4个分量的函数列{ψ1（x，t），ψ2（x，t），ψ3（x，t），ψ4（x，t）}。这个列函数的性质不同于通常意义下的矢量，因而狄拉克给它取了个新名字，叫做“旋量”。
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于是，狄拉克将公式右边包含p和α、β的二项式展开，与等式的左边比较后，得到了他的4×4的α1、α2、α3、β矩阵必须满足的3个条件：
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（αi）2＝β2＝I（4×4单位矩阵）
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αiαj＋αjαi＝0
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αiβ＋βαi＝0
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上面条件中的i，j＝1、2、3。然后，狄拉克进一步找到了满足上述条件的α、β矩阵，并且导出了狄拉克方程[8]：
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狄拉克对数学美的追求使他受益匪浅，从上述形式的狄拉克方程得到的解具有4个分量，或可以说是4个解。其中的2个解分别对应电子的2个自旋分量，它们准确地描述了电子的运动。另外2个解的特性使狄拉克大吃一惊，因为它们对应于负能量状态！狄拉克相信这种负能量的解一定有其物理意义，这种信念导致他预言了正电子的存在。
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如果假设狄拉克方程的另外2个解对应的电荷不是电子所带的负电荷，而是正电荷的话，负能量解就变成了正能量解。当时知道的具有正电荷的粒子只有质子，质子的质量比电子质量大很多，显然不符合这里的条件。于是，狄拉克便预言存在1种与电子质量相等、但电荷相反的反粒子。这个假设当时在物理界引起轩然大波。可是，出乎人们意料之外，这个大胆预言的粒子在1年后被安德森在宇宙射线中发现，并将其命名为“正电子”。1955年，另外两位天文学家又发现了质子的反粒子——反质子。之后，各种反粒子被陆续发现。
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因此，与薛定谔方程相比，狄拉克方程有许多优越之处。除了考虑了相对论效应，可以用于电子速度接近光速的情况之外，它把原来没有考虑的“自旋”和“反粒子”情况自动包括在内。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970763]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 6．泡利——上帝的鞭子
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人类最早探索到自旋的奥秘，与著名的“泡利不相容原理”有关。
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在量子力学诞生的那一年，沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958年）也在奥地利的维也纳呱呱坠地。二十多年后，他成为量子力学的先驱者之一，是一位颇富特色的理论物理学家。