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图2-7-2 自旋和矢量不同
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如果观察电子的自旋，结论就大不一样。自旋角动量是量子化的，无论你从哪个角度来观察电子的自旋，你都可能得到、也只能得到2个数值中的一个：1/2，或-1/2，也就是所谓的“上”，或“下”，如图2-7-2（b）所示。测量其他数值的自旋，也是类似的结果。比如测量光子的自旋，只可能得到1、-1的数值。
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我们将“上”，或“下”两种状态叫做电子自旋的本征态。而大多数时候，电子是处于两种状态并存的叠加态中。叠加态的情况则可以反映一定程度的自旋“方向”。也就是说，虽然测量电子自旋时只能得到2个量子化的数值，但是不同的自旋叠加态在不同角度测量时，得到1/2的概率不同于得到-1/2的概率，2个概率的不同组合便对应于不同的叠加态。
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此外，在电子自旋空间的旋转也不同于在普通空间的旋转。当在自旋空间中转一圈之后，不能回到原来的状态，就像图2-7-1（b）中，如果有个小人沿着图中的黎曼面移动一圈之后，并不能回到原来的位置一样。也可以看出如果图中那个小人继续它的黎曼面旅行，再走一圈之后，就会回到原来的位置了。图2-7-1（b）中的黎曼面是根据复数Z的平方根画出来的，由此可见，电子自旋空间的旋转性质正好与‘复数平方根’的性质相类似。
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电子自旋的物理意义，可探究的问题很多：这个内禀角动量到底是个什么意思？自旋究竟是怎么形成的？为什么费米子会遵循泡利不相容原理？为什么自旋是整数还是半整数，决定了微观粒子的统计行为？
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与自旋相关的数学概念也很有趣。我们即将介绍的群论是其一。此外，自旋也与哈密顿发明的四元数（w，i，j，k）有关。数学家的脑袋里总是盘旋着一些古怪的东西，哈密顿就是如此一位学者。哈密顿是爱尔兰人，在都柏林度过了他平静而伟大的数学人生。夫妻二人经常沿着都柏林的皇家运河优哉游哉地散步，夫人看风景，哈密顿则琢磨数学问题。有一个哈密顿思考多年的问题就是在1843年散步时突然开窍的，他立即将它刻在了金雀花桥的一块石头上：I2＝j2＝k2＝ijk＝-1。这便是哈密顿所发明的四元数的基本运算公式之一。读者也能看出，这3个i，j，k的性质，像是原来的虚数i，却又不是那个原来的虚数i：它们的平方都是-1，这点像是虚数i。但是，如果将它们看成i，那后面一条等式不会成立，这又是什么意思呢？哈密顿将这“虚而不虚”的3个东西，再加上另外1个实数w，结合在一起称之为“四元数”。原来，哈密顿的目的是要将复数的概念扩展到更高的维数，但思考多年都未得其果，散步时灵光闪现，才发现他的这种四元数代数必须以牺牲原来的实数和复数中乘法的交换律为代价，那其实也就是上面最后一个公式所表达的意思。根据哈密顿四元数的定义，进行一点简单的代数运算便能发现：i，j，k的乘法是互不对易的。换言之，四元数运算是复数运算的不可交换延伸。
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之前曾经说到，泡利将自旋粒子的波函数用旋量描述。旋量也是个奇怪的东西，在三维欧氏空间中，标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，泡利二维旋量的位置在哪里呢？旋量好像是一个标量和矢量之间“半路杀出来的程咬金”。在一定的意义上，它可以被当作是矢量的平方根，这点可以简单说明如下：
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二阶旋量是二维复矢量，对旋量s＝（n0，n1），可以用泡利矩阵构造一个三维矢量（V1，V2，V3）：
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Vi＝s†σis （2-3）
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式（2-3）中，†是转置共轭。
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因为泡利矩阵是厄米矩阵，所以V是三维实矢量，反过来有
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s†s＝|V|I＋Viσi （2-4）
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式（2-4）中的I，是2×2单位矩阵。左边是旋量的平方，右边与三维实矢量V的线性表示有关。在这个意义上，旋量s可以看作是三维矢量V的“平方根”。
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看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了四维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见维基[11]。
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旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与Clifford代数有关。
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奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成、光谱的精细结构、光子的偏振性以及量子信息的纠缠等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性、研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 8．造物者的灵符
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歌德在其脍炙人口的著名作品《浮士德》中，如此描述浮士德悟出“宇宙的灵符”时，茅塞顿开的欢愉心态：“写这灵符的莫不是位神灵？它镇定了我内心的沸腾，使我可怜的寸心充满了欢愉，以玄妙的灵机揭开了自然的面纱。”
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最小作用量原理无疑是大自然最迷人的原理之一。它以其简洁和美妙的形式使物理学家感到震撼，就像歌德描述的浮士德一样。
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人类总是以自己是高等智慧生物而自傲，这是理所当然的，因为在地球上只有人类才具有高级思维的能力。人类懂科学，会各种计算。特别是现代社会以经济结构为主导，无论是国家、社团、企业，乃至个人，都讲究方法、追求效益，试图用最少的成本办最多的事情。
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造物主似乎也喜欢“极值”。难道上帝也懂得经济学？它按照某种“花费”最小的方式设计了物理定律，创造出这个世界。物理学家们，正如爱因斯坦所期望的，窥探到了那么一点点上帝创造世界的秘密，于是高兴得心花怒放，将其称之为“最小作用量原理”。
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不仅仅爱因斯坦热衷于他的统一梦，事实上，“走向统一”是任何科学研究领域中的目标之一。因为统一性表达了一种简约之美。科学研究的动力，有时候就来自于对大自然造物简单性的一种信念。科学家们相信大自然中存在着一些基本的原理，这些原理在许多场合都能适用，比如大家熟知的能量守恒、物质守恒等。最小作用量原理也是这样一条几乎处处适用，带点“统一”意义的基本原理。
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光在同种介质中自由传播时，总是走最短的路径——直线；不受作用力的物体，也是保持静止或匀速直线运动。即使光线在不同介质中产生了折射现象，那也是它保证的整个路线花费时间最小的结果。此外，在地球的重力场中抛出去的石头，其轨迹是一条形状一定的抛物线；蚂蚁按照一定的路线觅食，其路线也符合时间最小的原则。也就是说，上述种种不同的自然现象，虽然遵循着不同的自然规律，但却有它们的共同之处：这些现象都是某种物理量取“极值”的表现。这是什么物理量呢？科学家们给它一个名字：作用量。自然现象总是使得作用量取极值，这就是“最小作用量原理”。
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