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式（2-4）中的I，是2×2单位矩阵。左边是旋量的平方，右边与三维实矢量V的线性表示有关。在这个意义上，旋量s可以看作是三维矢量V的“平方根”。
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看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了四维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见维基[11]。
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旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与Clifford代数有关。
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奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成、光谱的精细结构、光子的偏振性以及量子信息的纠缠等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性、研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970765]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 8．造物者的灵符
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歌德在其脍炙人口的著名作品《浮士德》中，如此描述浮士德悟出“宇宙的灵符”时，茅塞顿开的欢愉心态：“写这灵符的莫不是位神灵？它镇定了我内心的沸腾，使我可怜的寸心充满了欢愉，以玄妙的灵机揭开了自然的面纱。”
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最小作用量原理无疑是大自然最迷人的原理之一。它以其简洁和美妙的形式使物理学家感到震撼，就像歌德描述的浮士德一样。
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人类总是以自己是高等智慧生物而自傲，这是理所当然的，因为在地球上只有人类才具有高级思维的能力。人类懂科学，会各种计算。特别是现代社会以经济结构为主导，无论是国家、社团、企业，乃至个人，都讲究方法、追求效益，试图用最少的成本办最多的事情。
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造物主似乎也喜欢“极值”。难道上帝也懂得经济学？它按照某种“花费”最小的方式设计了物理定律，创造出这个世界。物理学家们，正如爱因斯坦所期望的，窥探到了那么一点点上帝创造世界的秘密，于是高兴得心花怒放，将其称之为“最小作用量原理”。
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不仅仅爱因斯坦热衷于他的统一梦，事实上，“走向统一”是任何科学研究领域中的目标之一。因为统一性表达了一种简约之美。科学研究的动力，有时候就来自于对大自然造物简单性的一种信念。科学家们相信大自然中存在着一些基本的原理，这些原理在许多场合都能适用，比如大家熟知的能量守恒、物质守恒等。最小作用量原理也是这样一条几乎处处适用，带点“统一”意义的基本原理。
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光在同种介质中自由传播时，总是走最短的路径——直线；不受作用力的物体，也是保持静止或匀速直线运动。即使光线在不同介质中产生了折射现象，那也是它保证的整个路线花费时间最小的结果。此外，在地球的重力场中抛出去的石头，其轨迹是一条形状一定的抛物线；蚂蚁按照一定的路线觅食，其路线也符合时间最小的原则。也就是说，上述种种不同的自然现象，虽然遵循着不同的自然规律，但却有它们的共同之处：这些现象都是某种物理量取“极值”的表现。这是什么物理量呢？科学家们给它一个名字：作用量。自然现象总是使得作用量取极值，这就是“最小作用量原理”。
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根据最小作用量原理，物理系统的运动规律总是使得系统的作用量取极值。也就是说，只要知道了物理系统“作用量”的表达式，然后根据变分原理求极值，就可以得出该系统的物理规律来。不同物理系统有不同的运动规律，经典的力学系统符合牛顿的力学三大定律；经典电磁系统符合的是麦克斯韦方程；广义相对论中有引力场方程；量子力学中有薛定谔方程、狄拉克方程等。最小作用量原理为物理学家们提供了一种统一的方法，以使得对不同的物理系统能推导出不同的方程来。使用这个方法的关键，是要能够写出系统的作用量函数表达式S。而作用量S又能写成拉格朗日函数对时间的积分，如图2-8-1所示：
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图2-8-1 作用量和拉格朗日函数
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图2-8-1公式中的便是拉格朗日函数，或称“拉格朗日量”。因此，利用最小作用量原理，物理学家们在研究不同领域的问题时有了一种统一的语言：“写出系统的拉格朗日量”。因为一旦给出了拉格朗日量，就给定了作用量。然后，也就能从变分法给出系统的方程，也就是给出了“物理定律”。
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那么，如何才能知道系统的拉格朗日量呢？这一点在最开始使用作用量原理的年代比较困难。但后来，当物理学家们研究了各种系统，越来越有经验的时候，就不是那么困难了。从另一方面，当我们已经知道了一些物理定律，比如上面所列举的牛顿三定律、麦克斯韦方程等，也可以倒推而猜出作用量表达式或者拉格朗日量的表达式来。这听起来有点像“鸡和蛋”的关系，到底是先有物理方程，还是先有作用量呢？历史经验表明，一般是先有物理方程。既然方程已经有了，那么，作用量又有什么用呢？毕竟多一种研究方法便多一层对大自然的深刻认识。回想一下在中学物理中解决力学问题时，我们可以用牛顿定律来求解，也可以使用能量和动量守恒的观点来求解。显然，能量守恒和动量守恒是比牛顿定律更为基本的物理原理。但是，两者皆备，相辅相成，使我们对自然规律的理解更为深刻，何乐而不为？
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还是回到如何得到拉格朗日量的问题。比如说，在牛顿力学中，如图2-8-1所示，一个粒子的拉格朗日量等于它的动能减去势能。这听起来好像又有些奇怪：为什么是动能减势能？什么意思啊？为什么不是动能加势能？那样似乎还可以理解它的物理意义，不就是总能量吗？读者的问题很有道理，动能加势能在分析力学中对应的是哈密顿量。哈密顿量也很重要，哈密顿和拉格朗日都对分析力学作出了重要贡献，使用哈密顿量表述的哈密顿正则方程与最小作用量原理的表述是等效的，都能导出牛顿运动定律。不过，大自然安排给哈密顿量的角色是“守恒”，不是“极值”，极值的角色是由作用量S来表演的。在作用量S的表达式中，被积函数是拉格朗日量，而非哈密顿量H。所以，作用量S是拉格朗日量对时间的累积效应。也许可以将拉格朗日量解释为某种“cost”（花费）。大自然是个经济学家，它设计的自然规律是要使时间累计的花费最小。落实到单粒子牛顿力学的情况，这种“花费”表现在动能和势能之差。看起来，大自然也是个懒骨头，不喜欢在动能和势能间转换来转换去，它的法则是使得粒子的动能和势能差别之时间累积为最小。
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最小作用量原理、拉格朗日量、哈密顿量这些名词，在经典力学中的位置看起来没有那么重要，处于可有可无的地位，诸位所熟知的恐怕还是牛顿运动定律。但是，到了量子理论中，人们就更喜欢用这些术语来描述物理系统了。原因之一是因为量子论中的不确定性。比如刚才说的单个粒子，在经典物理中，用牛顿定律算出它的轨道比讨论拉格朗日量更直观。但是在量子理论中，粒子已经没有了确定的轨道，而只有“弥漫”于整个空间的波函数。这种情况下，波函数难以求解，又不能给出运动的直观图像，还不如研究哈密顿量和拉格朗日量。后面两者似乎更有用处，因为从研究哈密顿量的性质，可以得出粒子可能具有的能级；而从研究拉格朗日量，能深入探讨量子现象和经典运动的联系。总结成一句话：知道了系统的拉格朗日量，就可以由最小作用量原理确定系统满足的物理规律。
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所以，我们从一个单粒子（经典电子）的最简单情况开始，研究一下几种相关情形下作用量的形式。因为作用量总是表示成拉格朗日量的积分，所以只需要研究拉格朗日量（或称“拉格朗日函数”）的形式就可以了。
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如图2-8-2（a）所示，一个在势场V（q）中运动的质量为m的经典粒子的拉格朗日函数是它的动能与势能之差。式中的q＝q（t），表示这个粒子的位置，（dq/dt）表示粒子的速度。粒子的位置和速度都是随着时间变化的函数。
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