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图2-8-1 作用量和拉格朗日函数
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图2-8-1公式中的便是拉格朗日函数，或称“拉格朗日量”。因此，利用最小作用量原理，物理学家们在研究不同领域的问题时有了一种统一的语言：“写出系统的拉格朗日量”。因为一旦给出了拉格朗日量，就给定了作用量。然后，也就能从变分法给出系统的方程，也就是给出了“物理定律”。
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那么，如何才能知道系统的拉格朗日量呢？这一点在最开始使用作用量原理的年代比较困难。但后来，当物理学家们研究了各种系统，越来越有经验的时候，就不是那么困难了。从另一方面，当我们已经知道了一些物理定律，比如上面所列举的牛顿三定律、麦克斯韦方程等，也可以倒推而猜出作用量表达式或者拉格朗日量的表达式来。这听起来有点像“鸡和蛋”的关系，到底是先有物理方程，还是先有作用量呢？历史经验表明，一般是先有物理方程。既然方程已经有了，那么，作用量又有什么用呢？毕竟多一种研究方法便多一层对大自然的深刻认识。回想一下在中学物理中解决力学问题时，我们可以用牛顿定律来求解，也可以使用能量和动量守恒的观点来求解。显然，能量守恒和动量守恒是比牛顿定律更为基本的物理原理。但是，两者皆备，相辅相成，使我们对自然规律的理解更为深刻，何乐而不为？
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还是回到如何得到拉格朗日量的问题。比如说，在牛顿力学中，如图2-8-1所示，一个粒子的拉格朗日量等于它的动能减去势能。这听起来好像又有些奇怪：为什么是动能减势能？什么意思啊？为什么不是动能加势能？那样似乎还可以理解它的物理意义，不就是总能量吗？读者的问题很有道理，动能加势能在分析力学中对应的是哈密顿量。哈密顿量也很重要，哈密顿和拉格朗日都对分析力学作出了重要贡献，使用哈密顿量表述的哈密顿正则方程与最小作用量原理的表述是等效的，都能导出牛顿运动定律。不过，大自然安排给哈密顿量的角色是“守恒”，不是“极值”，极值的角色是由作用量S来表演的。在作用量S的表达式中，被积函数是拉格朗日量，而非哈密顿量H。所以，作用量S是拉格朗日量对时间的累积效应。也许可以将拉格朗日量解释为某种“cost”（花费）。大自然是个经济学家，它设计的自然规律是要使时间累计的花费最小。落实到单粒子牛顿力学的情况，这种“花费”表现在动能和势能之差。看起来，大自然也是个懒骨头，不喜欢在动能和势能间转换来转换去，它的法则是使得粒子的动能和势能差别之时间累积为最小。
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最小作用量原理、拉格朗日量、哈密顿量这些名词，在经典力学中的位置看起来没有那么重要，处于可有可无的地位，诸位所熟知的恐怕还是牛顿运动定律。但是，到了量子理论中，人们就更喜欢用这些术语来描述物理系统了。原因之一是因为量子论中的不确定性。比如刚才说的单个粒子，在经典物理中，用牛顿定律算出它的轨道比讨论拉格朗日量更直观。但是在量子理论中，粒子已经没有了确定的轨道，而只有“弥漫”于整个空间的波函数。这种情况下，波函数难以求解，又不能给出运动的直观图像，还不如研究哈密顿量和拉格朗日量。后面两者似乎更有用处，因为从研究哈密顿量的性质，可以得出粒子可能具有的能级；而从研究拉格朗日量，能深入探讨量子现象和经典运动的联系。总结成一句话：知道了系统的拉格朗日量，就可以由最小作用量原理确定系统满足的物理规律。
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所以，我们从一个单粒子（经典电子）的最简单情况开始，研究一下几种相关情形下作用量的形式。因为作用量总是表示成拉格朗日量的积分，所以只需要研究拉格朗日量（或称“拉格朗日函数”）的形式就可以了。
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如图2-8-2（a）所示，一个在势场V（q）中运动的质量为m的经典粒子的拉格朗日函数是它的动能与势能之差。式中的q＝q（t），表示这个粒子的位置，（dq/dt）表示粒子的速度。粒子的位置和速度都是随着时间变化的函数。
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图2-8-2 从单粒子到场的拉格朗日函数表达式
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从单粒子的作用量很容易推广到空间中布满了多个谐振子的情况，如图2-8-2（b）所示。图中的qa（t）表示第a个谐振子的位置函数，ma是谐振粒子的质量。这种多粒子系统的拉格朗日函数仍然是总动能减去总势能的形式，只不过对所有的粒子求和而已。势能应该包括粒子之间的相互作用势能和其他外场的势能。如果不存在其他外场，相互作用的势能只与谐振子之间距离的平方有关。
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为什么要使用这个空间充满了谐振子的模型呢？目的是想为今后浅谈一点“场论”铺平道路。首先想想我们最熟悉的“场”，除了引力场之外，说来说去当然还是电磁场广为人知。不过，绝大多数读者，特别是非物理专业的，所熟悉的是经典电磁场。这里所谓“经典”的意思就是说与量子没有什么关系。这在麦克斯韦创立电磁理论的时代的确是这么回事，但是到了1905年爱因斯坦利用光量子来解释光电效应之后，情况就有了变化。实际上，那时候的爱因斯坦已经在物理概念上将电磁场“量子化”了，也就是说，有了电磁场是由一个一个光量子组成的概念。爱因斯坦认为，每一个光量子都具有能量E＝hν，这份能量只与频率有关，由此才成功解释了光电效应。光量子具有固定频率的事实，使人们很自然地联想到谐振子。并且，这种既是粒子又是波的“波粒二重性”，既能用到光子上，也能用到电子和其他微观粒子上。因此，从量子的角度，我们便可将弥漫于空间的“场”，想象成密密麻麻均匀布满空间的谐振子了。因为谐振子在场所在的空间中无处不在，并且互相之间的距离很小，我们又可以把它们从一个一个分离的状态，改换成用连续的函数来描述。具体过程如图2-8-2（c）所示的，首先将谐振子的分离位置函数qa（t），用连续函数q（t，x）代替，然后再按照通常表示“场”的符号，写成φ（t，x）。此外，求和符号则用时空中的积分替代。而原来的经典拉格朗日量，则变成了时空中的拉格朗日量密度。“场”，就是充满空间的谐振子的连续化。
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不喜欢数学公式的读者，也不用被图2-8-2中的几个公式吓倒。写出公式的目的，只是为了说明，无论是描述单个粒子、谐振子，还是场，拉格朗日量都有看起来颇为类似的形式：动能减势能。动能部分是两个变量的微分相乘，势能部分是两个变量相乘。经典粒子和量子“场”，只不过拉氏量中的变量不同而已，经典粒子的变量是它的位置函数q（t），场的变量是场函数φ（t，x）。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970766]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 9．费曼的游戏
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费曼是一位颇具直觉的物理学家，他在中学时代得知最小作用量原理时，就像歌德描述的浮士德一样，被这“造物者灵符”的简洁和美妙所震撼。这份震撼长存于心，最后终于将它应用到量子理论中，成功铸成“费曼路径积分”的理论。
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最小作用量原理的实质是“选择”，处处都存在选择。条条大路通罗马，古代聪明智慧的将军选择了那条最短的路而成功占领了罗马。物竞天择、适者生存，自然选择是达尔文进化论的中心思想。另外，在人生的道路上也是如此，每个人的生命中都会面临好多抉择的关键点：求学、求职、出国、入伍、恋爱、婚姻等，不同的选择也许带给你完全不同的人生。从图2-9-1可见，不同路径的可能性很多，但人一生最终只能走其中一条。
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图2-9-1 人生的道路上面临各种选择
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物理规律也是“选择”的结果。大自然选择作用量具有极值的那条路径。不同路径具有各种选择的可能性，正好与量子理论的概率诠释不谋而合，因而被费曼借来构造量子论。量子力学中不是已经有了薛定谔方程、狄拉克方程、克莱因—高登方程吗？费曼还要加上一个“路径积分”干什么？
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实际上，物理规律的表达有两种方式：局部的和整体的。如用图2-9-1中有关人生道路的选择来做类比，那就是说，人生可以局部地看，也可以整体地看。局部意义上的“抉择”，可能是根据许多当时，当地的条件和环境而做出来的，整体的眼光则包含了一定的预测成分。这个比喻用于物理不是很恰当，因为人生道路的选择参与了很多个人的、主观的、人为的因素，每个人的想法都不同，每个人所处的环境、时代、个人性格、人生经验也都不同，而物理现象却是由普适的大自然规律所决定的。
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言归正传，对应于物理规律的局部表述和整体表述，便也有了微分和积分数学模型之分。微分方程是从局部的观点来描述自然规律，最小作用量原理和路径积分则是用积分的方式来表达。可举牛顿力学的例子来简单地说明两种方式之区别：炮弹（从A点）被发射到空中，画出一条抛物线后击中目标B。炮弹为什么走这条路而不是另一条路？有两种方法来理解。局部地解释是（图2-9-2（a）），在运动的每个瞬间，炮弹因为受到了所在位置的重力及阻力的作用，而遵循牛顿运动的微分方程。此时此刻的位置、速度、加速度、和力，决定了下一个相邻时刻（dt）的位置（dx）。无限小间隔dt和dx之间的关系由联系力和加速度的微分方程决定。整体的观点怎么说呢？炮弹从出发点A到目标B，之所以走了这条抛物线而不是另一条抛物线或别的任何路径，是因为沿着这条抛物线，最小作用量取极值，如图2-9-2（b）所示。
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