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上述两种方式用到量子力学中，便分别对应于薛定谔方程和费曼路径积分。费曼路径积分，实际上应该被称为“狄拉克—费曼路径积分”，因为这种思想最初是由狄拉克提出的，当时的狄拉克想要寻找一种能够平等对待时间和空间的量子力学表述方式，他相信最小作用量原理可以在量子力学中发挥作用。到20世纪40年代，费曼在普林斯顿大学跟着导师约翰·惠勒做博士的期间，将狄拉克1933年的文章的部分思想加以发展，并写进了他的博士论文中。不过后来，第二次世界大战爆发，费曼和惠勒都参与了曼哈顿计划，直到战争结束，费曼才又继续研究和完善了路径积分的理论，并将其用于量子力学和量子场论。
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图2-9-2 从不同角度研究物理规律
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我们回到上面所举的经典抛射体的例子。根据最小作用量原理，抛射粒子从发射点A到目标B，走的是那一条作用量最小的路线。有趣的是，当我们用整体的观点来解释物理规律时，抛射体好像被赋予了某种“灵性”，它似乎知道它该如何行为，才能走上那条作用量的极值之路。就像救生员穿过草地再游水去救援溺水之人时，他能够判断而选出一条到达目的地的最快路线一样。人类这种复杂生物体固然具有灵性，结构简单的经典粒子的“灵性”从何而来，就不知道了。那么，如果被抛射的不是宏观物体，而是微观世界中更简单、尺寸更小的粒子（比如像电子这样的基本粒子）的话，应该就没有什么灵性了吧？不妨想象这些量子力学中的粒子，没有经典粒子那么精明，不会选择作用量为极值的道路，不过它们却有一种类似“波动性”的特殊本领。这种本领使得它们不是从一条路，而是走过了从A到B所有可能的道路后到达B（图2-9-2（c））。正如费曼所说：“电子可以做任何它喜欢做的任何事”，往任何方向，前进、后退、拐弯、绕圈……甚至于时间上也可以向前或向后，最后到达B。换言之，费曼将这种想法应用到量子力学中，对电子从A到B的所有可能的“历史”求和，最后得到和薛定谔方程解出的联系A、B的波函数一样的结果。人们将这种方法叫做“费曼路径积分”。
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当费曼告诉弗里曼·戴森（Freeman Dyson，1923— ）他的“对历史求和”版量子力学想法时[12]，戴森说：“你疯了！”，对啊，一个电子怎么可能走所有的路呢？并且，电子路径的时间怎么可能是向后的呢？费曼哈哈大笑说，没有什么是不可能的啊！又风趣地说，“倒着时间运动的电子，就是顺着时间运动的正电子嘛，其实这个想法来自约翰·惠勒，是我偷来的！”
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如图2-9-3所示，在费曼路径积分中，对于从A到B的传播子（或称“几率幅”），每条路径都有贡献。每条路径贡献的幅度大小是相同的，但相位不同，其相位与沿着该路径的作用量有关，即等于eiS（A，路径，B）/ℏ，其中S（A，路径，B）是该路径的作用量值。总的几率幅为所有路径所贡献的几率幅之和。这与经典力学的情况不同。在经典力学中粒子是按确定的经典轨道运动的，这个轨道上的作用量S0有极值，即（δS）0＝0。
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图2-9-3 费曼路径积分
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刚才提到的弗里曼·戴森和约翰·惠勒，两位都是理论物理界的大师级人物，但都没有得到诺贝尔奖。惠勒是费曼的老师，戴森和费曼同为量子电动力学作出了重要的奠基性的贡献，戴森涉猎的研究范围很广，从粒子物理、天体物理，到生命起源都有所研究，他是没有获得博士学位却成为了数学物理中大师级人物的典型范例。
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量子电动力学（quantum electrodynamics，QED）是量子理论中的一颗明珠，它使用量子场论的方法，成功地描述了光和粒子间的相互作用，对异常磁矩及氢能阶兰姆位移等的计算结果，与实验值精确地符合，充分显示了理论的魅力。这个理论开始于20世纪20年代末，狄拉克在建立了电子的相对论运动方程，并用狄拉克海的观点预言了正电子之后不久便认识到，一个真正完美结合相对论和量子力学的理论，不能只描述单个电子，而必须是一个“场”的理论。于是他开创性地将电磁场进行量子化，提出粒子的“产生”和“湮灭”算符的概念。但后来，因为实验精度的限制，这种“场论”方法遭遇挫折，沉寂、停止了20年，直到20世纪40年代后期。
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图2-9-4 量子电动力学的创建者
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戴森于1923年出生在英国，尽管他没有博士学位，却全凭实力在20多岁就得到物理学家汉斯·贝特（Hans Bethe，1906—2005年）的赏识，当上了美国康奈尔大学的教授。那个时候，正好物理学家兰姆等人在哥伦比亚大学完成了用微波探测氢原子的实验，取得了非常精确的结果。贝特直觉感到这个实验结果为量子理论的发展创造了机会。之后，日本的朝永振一郎和哈佛的朱利安·施温格用场论进行计算，费曼也试图用他的路径积分理论解释这个成果。戴森与施温格、费曼等合作，靠着他强大的数学运算能力，精确地计算出了氢原子的兰姆位移。他们的计算结果与兰姆的实验令人惊奇地吻合，精度达到10-11。他还发展了重整化理论，解决了计算中无穷大的问题，为狄拉克早期创立的量子电动力学翻案，证明了这个理论是正确的。
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因为上述贡献，朝永振一郎、施温格和费曼3人分享了1965年的诺贝尔物理学奖，贝特也在1967年得了诺贝尔物理学奖。QED的几个奠基者中，唯有戴森被诺贝尔奖“忽略”了，可见世界永远不可能是那么公平的。
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不过，这几个诺贝尔奖得主如今也已经全都归天了，戴森却还活着。92岁高龄的他还经常漫步在新泽西州普林斯顿高等研究院的小路上和树荫下。在那里他已经度过了60多个春秋，他写书写文章，关注科学，点评文化，涉猎各个不同的领域。戴森只是与诺贝尔奖未曾结缘，除此之外，他曾经得到的奖项还是可以列出一长串的。几年前，他还就大众及其关心的“全球暖化”问题，发表独见，引起了不少争议，此是题外话。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 10．粒子和场
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世界的本源是什么？是物质和运动。那么，物质和运动的本源又是什么？如果将“本源”理解为构成世界的最基本成分的话，根据目前大多数物理学家所认可的“标准模型”，这些基本成分归结为62种基本粒子和4种相互作用。实际上，相互作用在“基本粒子”表中也有它们所对应的“作用传播子”，所以不妨就可以将世界当作是这62种基本粒子组成的。然而，虽然仍然把它们称作基本“粒子”，但它们已经远不是人们脑袋中那种经典的、一个一个小球模样的“粒子”形象了。上面这句话其实不完全正确，对光量子或电磁场而言，粒子说和波动说一直都在交叉地争夺天下。原来那种“小球粒子”，主要是针对电子、原子、质子、中子一类的“物质粒子”而言的。
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1900年诞生的量子力学，摧毁了经典粒子和经典场的形象[13]。所有问题都是这个奇怪的“量子”带来的，量子力学赋予了光波以粒子的属性，又粉碎了实物粒子的经典图像。按照经典的说法，实物由粒子构成，光和引力是场。但量子力学的诞生模糊了两者的界限。实物粒子表现出波动性，电磁场却表现出了粒子性。“费曼的游戏”一节介绍的路径积分方法十分确切地将这两者统一在同一个思想框架中：量子力学可以被看作是经典运动在微观尺度下的修正，这些修正来源于不同的路径，在相位上相对于经典路径成指数衰减，它们使得经典的轨道和环境都变得“模糊”起来。
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既然粒子和场之间是模模糊糊的，并没有明确的界限，为何不干脆将它们都用一种单一的“形象”表达出来呢？回答应该是肯定的，这也算是统一的第一步吧。然后，下一个问题便是：这个形象应该是粒子为本，还是场为本呢？也许你可以说，两者都是“本”，一切都既是粒子又是波。既是波又是粒子。但大多数的人都认为只应该有一个本体，到底哪一个才是更基本的？并且，当物理学界构造理论和数学模型时，也需要决定首先构造哪一个呀。最后，物理学家们选择了“以场为本”，并将此理论取名为“量子场论”。显而易见，量子场论还应该与狭义相对论相容[14]。
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历史地看，量子场论的提出与之前介绍过的狄拉克方程有关。狄拉克的电子方程本来是用来解释单个电子的相对论运动状态的，但是，它却引导出了无限多的负能量的能级。为此，狄拉克不得不假设了一个狄拉克海的概念，认为真空中的负能级上已经充满了电子，偶然出现一个“洞”，便意味着出现了一个正电子。虽然这个理论成功地预言了正电子的存在，但并不说明这个理论就是完全正确的。狄拉克的本意是像薛定谔方程那样，得到单电子的波函数，最后却想不到拉扯出了无穷多个电子。无穷多个电子存在的状态，还能被称为“真空”吗？真空中无穷多个能级被占据，也导致了无限大又不可测量的能量密度。
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此外，这种思维方式是基于电子这种费米子所遵循的泡利不相容原理。如果试图以类似的方式来建立玻色子的方程就不适用了，因为玻色子并不受泡利不相容原理的束缚。既然狄拉克海的解释涉及了无穷多个电子，还不如一开始就考虑多电子的运动而不要只考虑单电子的运动。正电子也可以从一开始就冠冕堂皇地进入理论中，而没有必要作为真空的一个空洞而出现。所以，狄拉克海的假设虽然不完善，这种“真空不空”的思想却被大家接受并移植到量子场论中。对量子场论还有另外一个要求：要能够处理粒子数变化的情形。量子力学提供的是单电子图景，电子数是固定的，永远是那一个电子。而描述光子运动的麦克斯韦电磁理论，虽然方程描述的电磁场是弥漫于空间中的“场”，但是，也无法处理光子数改变的情况，比如说，应该如何描述原子中因为电子状态的跃迁而辐射光子的过程？如果系统中本来没有任何经典电磁场存在，为什么突然就冒出了几个光子呢？这种现象是经典电磁场无法解释的。
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按照量子场论的观点，每一种基本粒子，都应该有一个与它对应的场。这些场互相渗透、作用、交汇在一起，就像大气那样充满了整个空间。真空被看作是各种量子场的基态，粒子则被看成是场的瞬息激发态，例如电子和正电子是电子场的激发态，夸克是夸克场的激发态……不同的激发态有不同的粒子数和不同的粒子状态。不同场之间的相互作用，引起各种粒子的碰撞、生成、湮灭等过程，用作用在这些量子态上的算符（包括产生、湮灭、粒子数算符等）来描述。20世纪20年代末，狄拉克、约旦和维格纳等人，为量子场论建立了一套称之为“正则量子化”的数学模型。根据这个模型，麦克斯韦的电磁场，以及从薛定谔方程、狄拉克方程等解出的波函数，都可以被量子化。人们将这种方法称为“二次量子化”，意思是有别于量子力学中求解波函数的量子化过程。