1700971830
1700971831
实际上，“二次量子化”只是一种因为历史过程而形成的说法。从费曼路径积分的观点，可以说不存在什么“一次”“二次”量子化的问题，因为路径积分的思想对两者是一样的，只是讨论的对象不同而已。量子力学中研究的是单粒子的时空运动：一个粒子从时空中一个点到达另一个点的总概率幅，等于所有可能路径的概率幅之和。在量子场论中，研究的是系统量子态的演化：系统从一个状态过渡到另一个状态的总概率幅，也是等于所有可能演化路径的概率幅之和。两种情形下的路径积分，用的是形式相同的统一公式：
1700971832
1700971833
路径积分应用到量子力学和量子场论的区别只是在于积分的空间不同，以及拉格朗日量表达式的不同。量子场论路径积分表达式（图2-10-1）中包含两个积分：一是对所有路径贡献的概率幅求和。对各种不同系统而言，在它可能历经的所有路径构成的空间中进行。出现在指数函数中的另一个积分，是对某个给定的路径，从拉格朗日函数密度计算作用量时的积分，在场分布的真实空间中进行。因为量子场论是量子力学和相对论结合而成，第二个积分空间的维数通常是（n＝1＋m）。当m＝3时，这是包括时间和三维空间的闵可夫斯基空间（不考虑引力的话）。当m＝0的时候，计算作用量的积分空间只有一维时间轴（t），公式（图2-10-1）便简化、回归到单粒子量子力学的情况。另外，空间维数m也可以扩展到大于3的情形，等于10或者别的什么正整数值都行，其数学表达式都是类似的，只需要根据具体情况将物理意义加以推广到高维而已。
1700971834
1700971835
1700971836
1700971837
1700971838
图2-10-1 量子场论中的路径积分
1700971839
1700971840
路径积分表达式（图2-10-1）是最小作用量原理的量子场论版。
1700971841
1700971842
我们在“9．费曼的游戏”一节中曾经指出：对应于作用量最小的那条轨道是经典粒子的轨道，如果令S的变分为0，可以得到欧拉—拉格朗日方程，再进一步可以导出经典粒子的运动规律，即牛顿定律。类似地，从图2-10-1中的公式出发，设定变分为0，也能对应于一条系统演化的经典轨道。相应的欧拉—拉格朗日方程被称为施温格—戴森方程。换言之，从量子场论的观点看，施温格—戴森方程是欧拉—拉格朗日方程的量子场论版，是该系统的某种经典场描述。例如，对标量场而言，在一定的条件下，施温格—戴森方程成为克莱因—高登方程。换句话说，从量子场论的观点看，量子力学中描述单粒子运动的波函数是一种经典场。
1700971843
1700971844
无论是用正则方法，还是用路径积分，量子场论中的具体计算都不容易，对复杂的系统更是困难重重。比如说，所谓的“路径空间”实际上是一个无穷维的空间，积分是无穷维重积分，一般无法精确计算。
1700971845
1700971846
不过，观察一下图2-10-1中的两个积分可知，路径积分的计算结果依赖于拉格朗日函数的具体形式。之前我们说过，经典粒子及场的拉氏函数，大致都是如图2-10-2中所示的某种“动能减势能”的形式。
1700971847
1700971848
1700971849
1700971850
1700971851
图2-10-2 拉格朗日函数
1700971852
1700971853
动能部分稍微好办一些，因为它们是场（或者场的微分）的二次项。如果没有后面势能λV（φ）一项的话，经过一系列繁复的代数运算之后，最终可以将路径积分的结果表示成图中所示的高斯积分的形式。势能项描述的是相互作用，当相互作用比较小而被忽略不予考虑的情况下，得到的便是“自由场”的结果。
1700971854
1700971855
对于复杂而任意变化的相互作用，物理学家也想出了一些可行的办法。因为势能部分λV（φ）的大小取决于相互作用常数（假设为λ），当λ比较小的时候，可以将拉氏函数中包括λV（φ）的指数函数用λ的泰勒级数展开，展开式通常被称为“戴森级数”，它描述了相互作用对自由场的各级修正。
1700971856
1700971857
费曼提出了一种形象化的方法来表示戴森级数，叫做费曼图。费曼给费曼图制定了一套简单形象的规则，可以很方便地计算粒子因相互作用产生的各种反应的散射截面（即发生反应的可能性），欲知详情，请见参考文献中所列的任何一本量子场论参考书[15]，[16]，[17]。
1700971858
1700971859
费曼图的两个简单例子如图2-10-3所示，描述了发生在二维时空（x，t）中的相互作用。
1700971860
1700971861
1700971862
1700971863
1700971864
图2-10-3 费曼图
1700971865
1700971866
图2-10-3（a）：时空点1的电子和时空点2的正电子，在时空点3相遇并湮灭，产生一个虚光子。虚光子运动到时空点4时，生成夸克和反夸克，反夸克在时空点5发射一个胶子。最后，夸克运动到6，反夸克到7。
1700971867
1700971868
图2-10-3（b）：电子从时空点1运动到点2的费曼图，最左边的图是没有产生虚光子的自由场的直接路径；第二个图中的电子在运动过程中曾经产生一个光子，稍后又吸收了这个光子，再运动到点2；第三个图包括了两次产生和吸收光子的过程；第四个图中的电子在运动过程中包含了更多的反应，是更高阶的修正。
1700971869
1700971870
量子场论“以场为本”，认为粒子只是场的“激发态”，犹如水波中的涟漪。但是，对如此而定义的“场”的本质，应该如何理解？它们到底是某种物理实在，还是仅仅是为了“激发”出可观测“粒子”而使用的一种数学方法？这仍然是物理学界难以回答、颇存争议的问题。不过，类比电磁场的例子，笔者认为，“场”和“粒子”两者都应该是物理实在，这种观点似乎更具有说服力。对此，你的答案是什么呢？
1700971871
1700971872
1700971873
1700971874
1700971875
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970768]
1700971876
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 第三篇 对称和群论
1700971877
1700971878
物理学从爱因斯坦的统一梦，走到规范理论、标准模型等，少不了数学。因此，本篇介绍一些群论方面的基础知识，为顺利打通统一之路扫去障碍、铺平道路。群论包含了一大堆数学名词，我们挑一些对理论物理重要的略加介绍：对称、群、置换群、连通、矩阵群、旋转群、酉群、同构、同态、李群、李代数等。不要害怕这些抽象的数学名词，当你认真读完这一篇之后，相信你将对它们有一个初步而直观的认识。在本篇最后，还将简单介绍与理论物理密切相关的“诺特定理”及“对称破缺”。
1700971879