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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970768]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 第三篇 对称和群论
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物理学从爱因斯坦的统一梦，走到规范理论、标准模型等，少不了数学。因此，本篇介绍一些群论方面的基础知识，为顺利打通统一之路扫去障碍、铺平道路。群论包含了一大堆数学名词，我们挑一些对理论物理重要的略加介绍：对称、群、置换群、连通、矩阵群、旋转群、酉群、同构、同态、李群、李代数等。不要害怕这些抽象的数学名词，当你认真读完这一篇之后，相信你将对它们有一个初步而直观的认识。在本篇最后，还将简单介绍与理论物理密切相关的“诺特定理”及“对称破缺”。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970769]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 1．少年天才创群论
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美丽的对称无处不在，它在我们的世界中扮演着重要的角色。自然界遍布虫草花鸟，人类社会处处有标志性的艺术和建筑，这些事物大多都体现出对称的和谐与美妙。几何图形的对称不难理解，当人们说到“故宫是左右对称的”“地球是球对称的”“雪花是六角形对称的”，每个人都懂得那是什么意思。不过，数学家们总是喜欢究死理，硬要用他们独特的语言来定义对称。
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从数学的角度来看待刚才的几个例子，对称意味着几何图形在某种变换下保持不变。比如说，故宫的左右对称意味着在镜像反射变换下不变；球对称是在三维旋转变换下的不变性；雪花六角形对称则是将雪花的图形转动60°、120°、180°、240°、300°时图形不变。所以，对称实际上表达的是事物具有的一种冗余性。没想到吧，上帝设计世界时又耍花招偷懒了：利用镜像对称，他只需要设计一半！利用六角形对称，他的雪花图案只需画出1/6！球对称的天体就更好办了，画出了一个方向的景色，就让它们去绕着一个固定点不停地转圈。
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不过，上帝的这种偷懒办法让人类欣赏和喜爱，誉为“对称之美”。科学家们更是感觉深奥无比而对其探索不止。他们发明出了一套又一套的理论来描述对称，群论便是描述对称的一种最好的语言。
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对称不一定只是表现在物体的外表几何形态上，也可以表现于某种内在的自然规律中。许多物理定律的表述都呈对称形式。最简单的例子，牛顿第三定律中“作用力等于反作用力，它们大小相等、方向相反，两者对称”。电磁学中的电场和磁场，彼此关联相互作用，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，也是一种对称。
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用数学语言定义对称的优越性之一在于容易推广。如果将对称概念从几何推广到物理研究中的一般情形，便被表述为：如果某种变换能够保持系统的拉格朗日量不变，从而保持物理规律不变的话，就说系统对此变换是对称的。
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物理规律应该在变换中保持不变，这应该是显而易见的。试想，如果今天的某个定律到了明天就不适用了，或者是麦克斯韦方程只在伦敦适用，搬到北京就不适用了，那还叫做自然规律吗？研究它还有任何意义吗？当然不应该是这样的。
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刚才举的例子中，今天到明天、伦敦到北京，这两个概念在数学上都称之为变换。前者叫做时间平移变换，后者叫做空间平移变换。但是，除了平移变换之外，还有许多别的种类的变换，物理定律难道对所有的变换都要保持不变吗？物理规律有很多，至少应该不是每一个规律对每一个变换都将保持不变。那么，这其中有些什么样的关系呢？
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首先，我们研究一下，与物理定律有关的变换主要有哪些种以及如何分类。
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俗话说：物以类聚，人以群分。岂止是人如此，我们所讨论的变换也可以用数学上的“群”来加以分类[18]。所以，变换用来描述对称，群用来描述变换，因此群和对称便如此关联起来了。群论便是研究对称之数学。
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群在数学上如何定义？“群论”的概念来自于多个方面：数论、代数方程、几何。历史上有一个最伟大的业余数学家叫费马，说他是业余的，是因为他的本职工作是个地方上的法官。但他并非一般的民间科学家，他在数学和物理上的贡献都非常了不起。我们在上一篇中介绍的最小作用量原理最早也是基于光学中的费马原理，该原理认为光线在空间总是走最短（或极值）的路径。
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1637年，费马随便在他阅读的一本书的边沿空白处写下了一个看起来颇像勾股定理的公式：xn＋yn＝zn，并提出了一个猜想：当n大于2的时候，不可能有整数满足这个式子。更玄乎的是，费马还在旁边加上了短短的一句话，意思是说他已经知道如何证明此公式但是那儿的空间太小写不下……这不是明显在吊胃口吗？因此，这个貌似简单的问题，竟让全世界的顶尖数学家们整整忙碌了300多年！那就是著名的费马大定理的故事。此外，费马还提出了一个费马小定理。费马小定理说的是有关质数的问题，可以简单表述如下：假如a是一个整数，p是一个质数，那么（ap-a）是p的倍数。这个费马小定理也许仍然让人觉得在“云里雾里”。不过无所谓，那不是我们的目的，重要的是，这个小定理和群论的发展有点关系。
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简单地说，群就是一组元素的集合，在集合中每2个元素之间，定义了符合一定规则的某种乘法运算规则。说到乘法规则，我们大家会想起小时候背过的九九表。九九表太大了，我们举一个数字较小的乘法表。比如图3-1-1（a），给出了小于5的整数的“四四”乘法表。
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图3-1-1 4个元素的群
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欧拉在1758年证明费马小定理的时候，便碰到了这种类似的乘法表。不过，欧拉不满意像图3-1-1（a）的那种10进制乘法，于是他将乘法规则稍微作了一些改动。在这个小于5的四四表例子中，欧拉把表中的所有元素都除以5，然后将所得的余数构成一个新的表，如图3-1-1（b）所示。按照这种余数乘法的方法，类似于上述n＝5的例子，我们可以对任意的正整数n，都如此构造出一个“余数乘法表”来。
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当我们再仔细研究n＝5的情况，发现图3-1-1（b）中的四四余数表有一个有趣的特点：它的每一行都是由（1、2、3、4）这4个数组成的，每一行中4个数全在，但也不重复，只是改变一下位置的顺序而已。
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上面的特点初看起来没有什么了不起，但欧拉注意到，并不是每一个n用如上方法构成的乘法表都具有这个性质，而是当且仅当n是质数的时候，（n-1）个元素的余数表才具有这个特点。这个有关质数的结论对欧拉证明费马小定理颇有启发。
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以现在群论的说法，图3-1-1（b）中的4个元素，构成了一个“群”，因为这4个元素两两之间定义了一种乘法（在此例中，是整数相乘再求5的余数）。并且，满足群的如下4个基本要求。不妨将它们简称为“群4点”。
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1．封闭性：2个元素相乘后，结果仍然是群中的元素（从图3-1-1（b）中很容易验证）；
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