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2．结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）（整数相乘满足结合律）；
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3．单位元：存在单位元（幺元），与任何元素相乘后结果不变（在上面例子中对应于元素1）；
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4．逆元：每个元素都存在逆元，元素与其逆元相乘，得到幺元（从图3-1-1（b）中很容易验证）。
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“乘法规则”对“群”的定义很重要。这里的所谓“乘法”，不仅仅限于通常意义下整数、分数、实数、复数间的乘法，其意义要广泛得多。实际上，群论中的“乘法”，只是2个群元之间的某种“操作”而已。实数的乘法是可交换的，群论的“乘法”则不一定。乘法可以交换（或称可对易）的“群”叫做“阿贝尔群”，乘法不对易的“群”叫做“非阿贝尔群”。
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欧拉研究数论时，有了群的模糊概念，但“群”这个名词以及基本设想，却是首先在伽罗瓦研究方程理论时被使用的，这涉及一个年轻数学家的悲惨人生。埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811—1832年）是法国数学家，他在短短20年的生命中所作的最重要工作就是开创建立了“群论”这个无比重要的数学领域。
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伽罗瓦从小就表现出极高的数学才能。他厌倦别的学科，独独对数学痴迷，以至于他在求学的道路上屡遭失败。他多次寄给法国科学院有关群论的精彩论文，也未被接受：柯西让他重写；泊松看不懂；傅里叶身体不好，收到文章后还没看就见上帝去了。对于年轻的伽罗瓦来说，生活道路的坎坷、父亲的自杀身亡，以及卓越的研究成果得不到学界的承认，为他种下了愤世嫉俗、不满社会的祸根。后来，法国七月革命一爆发，伽罗瓦立刻急不可待地投身革命，最后又莫名其妙地陷入了一场极不值得的恋爱纠纷中，并且由此卷入一场决斗。最后，这位“愤青”式的天才数学家，终于在与对手决斗时饮弹身亡。
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伽罗瓦是第一个用群的观点来确定多项式方程可解性的人。真是无独有偶，不幸的事情也往往成双。说到方程可解性，又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802—1829年）。不过，阿贝尔不是愤青，他在27岁时死于贫穷和疾病。
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我们在中学数学中就知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为
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对于3次和4次的多项式方程，数学家们也都得到了相应的一般求根公式，即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后，人们自然地把目光转向探索一般的5次方程的根式解，但历经几百年也未得结果。所有的努力都以失败告终，这使得阿贝尔产生了另外一种想法：5次方程，也许所有次数大于4的方程，根本就没有统一的根式解。
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由于长期得不到大学教职，阿贝尔的生活既无着落又贫病交加，但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了5次方程不可能有根式解，但却没有时间将这个结论推广到大于5的一般情形，就被病魔夺去了短暂的生命。然而，就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后，传来了迟到的好消息：他已经被某大学聘为了教授！
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群论研究的接力棒传到了比阿贝尔小9岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展了群论，又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此：每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群，后人称之为“伽罗瓦群”。一个方程有没有根式解，取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么，置换群和可解群是什么样的呢？这些概念大大超出了本书讨论的范围，在此无法详细叙述，下面从一个特例对置换群作简单介绍，对可解群有兴趣的读者可参阅相关文献[19]。
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置换群的群元素由一个给定集合自身的置换产生。在图3-1-2中，给出了一个简单置换群S3的例子。
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图3-1-2 置换群例子S3
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给了3个字母ABC，它们能被排列成如图3-1-2（a）右边的6种不同的顺序。也就是说，从ABC产生了6个置换构成的元素。这6个元素按照生成它们的置换规律而分别记成（1）、（12）、（23）……括号内的数字表示置换的方式，比如（1）表示不变，（12）的意思就是第1个字母和第2个字母交换等。不难验证，这6个元素在图3-1-2（b）所示的乘法规则下，满足上面谈及的定义“群4点”，因而构成一个群。这里的乘法，是两个置换方式的连续操作。图3-1-2（b）中还标示出S3的一个特别性质：其中定义的乘法是不可交换的。如图3-1-2（b）所示，（12）乘以（123）得到（13），而当把它们交换变成（123）乘以（12）时，却得到不同的结果（23）。因此，S3是一种不可交换的群，或称之为“非阿贝尔群”。而像图3-1-1所示的4元素的可交换群，被称之为“阿贝尔群”。S3有6个元素，是元素数目最小的非阿贝尔群。
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如图3-1-1和图3-1-2描述的，是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含义也很广泛，只需要满足群4点即可。
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如果你还没有明白什么是“群”的话，那就再说通俗一点（做数学的大牛们偶然看见了请不要皱眉头）：“群”就是那么一群东西，我们为它们两两之间规定一种“作用”，见图3-1-3的例子。两两作用的结果还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其他东西之间都不起作用；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。
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图3-1-3 只要符合“群4点”，各种操作都可以被定义为“群”中的乘法
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刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说，全体整数（…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…）的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数（封闭性），整数加法符合结合律；0加任何数仍然是原来那个数（0作为幺元），任何整数都和它的相应负整数抵消（比如：-3是3的逆元，因为3＋（-3）＝0）。
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但是，全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数，而是一个分数。所以不存在逆元，违反群4点，不能构成群。
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