1700971955
1700971956
1700971957
1700971958
图3-1-2 置换群例子S3
1700971959
1700971960
给了3个字母ABC，它们能被排列成如图3-1-2（a）右边的6种不同的顺序。也就是说，从ABC产生了6个置换构成的元素。这6个元素按照生成它们的置换规律而分别记成（1）、（12）、（23）……括号内的数字表示置换的方式，比如（1）表示不变，（12）的意思就是第1个字母和第2个字母交换等。不难验证，这6个元素在图3-1-2（b）所示的乘法规则下，满足上面谈及的定义“群4点”，因而构成一个群。这里的乘法，是两个置换方式的连续操作。图3-1-2（b）中还标示出S3的一个特别性质：其中定义的乘法是不可交换的。如图3-1-2（b）所示，（12）乘以（123）得到（13），而当把它们交换变成（123）乘以（12）时，却得到不同的结果（23）。因此，S3是一种不可交换的群，或称之为“非阿贝尔群”。而像图3-1-1所示的4元素的可交换群，被称之为“阿贝尔群”。S3有6个元素，是元素数目最小的非阿贝尔群。
1700971961
1700971962
如图3-1-1和图3-1-2描述的，是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含义也很广泛，只需要满足群4点即可。
1700971963
1700971964
如果你还没有明白什么是“群”的话，那就再说通俗一点（做数学的大牛们偶然看见了请不要皱眉头）：“群”就是那么一群东西，我们为它们两两之间规定一种“作用”，见图3-1-3的例子。两两作用的结果还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其他东西之间都不起作用；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。
1700971965
1700971966
1700971967
1700971968
1700971969
图3-1-3 只要符合“群4点”，各种操作都可以被定义为“群”中的乘法
1700971970
1700971971
刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说，全体整数（…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…）的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数（封闭性），整数加法符合结合律；0加任何数仍然是原来那个数（0作为幺元），任何整数都和它的相应负整数抵消（比如：-3是3的逆元，因为3＋（-3）＝0）。
1700971972
1700971973
但是，全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数，而是一个分数。所以不存在逆元，违反群4点，不能构成群。
1700971974
1700971975
全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了，是由无限多个实数元素组成的连续群，因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换，因而这是一个“无限”、“连续”的阿贝尔群。
1700971976
1700971977
可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易，所以构成的是非阿贝尔群。
1700971978
1700971979
连续群和离散群的性质大不相同，就像盒子里装的是一堆玻璃弹子，或装的是一堆玻璃细沙不同一样，因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量发生变化而生成的，这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个n维微分流形，便称之为“李群”，以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842年—1899年）的名字而命名。有关“流形”的例子，请参阅第一篇“4．惯性、引力、流形与几何”的介绍。李群对理论物理很重要，下一节中，我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。
1700971980
1700971981
1700971982
1700971983
1700971984
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970770]
1700971985
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．奇妙的旋转
1700971986
1700971987
我们到处都能看到旋转的物体。铁路和公路上车轮滚滚，舞台上芭蕾舞演员转圈频频。宇宙中的星云、我们居住的地球、太阳系和银河系，这些天体都处于永恒而持久的旋转运动中。
1700971988
1700971989
物理学与各种旋转结下不解之缘，从力学中研究的刚体转动，到量子理论中的粒子自旋都与旋转有关。地球绕太阳转、月亮绕地球转、滚珠在轴承滚道中转、电子绕原子核转……每一层次的实验和理论中似乎都少不了旋转。物理中的旋转除了在真实时空中的旋转之外，还有一大部分是在假想的、抽象的空间中的旋转，比如动量空间、希尔伯特空间、自旋空间、同位旋空间等。
1700971990
1700971991
在“1．少年天才创群论”一节中我们介绍了群论的基本概念，空间中的旋转也构成群，并且，旋转群是物理中非常重要的一类群。旋转群有离散的和连续的之分。连续旋转群具有天然的流形结构，是一种李群，理论物理，特别是统一理论中所感兴趣的旋转李群有SO（3）、SO（2）、U（1）、SU（2）、SU（3）等。
1700971992
1700971993
旋转可以用大家熟知的矩阵来表示。因此，我们首先用矩阵的语言，解释一下上面所列的一串符号是什么意思：每个符号括号中的数字（3、2、1）是表示旋转的矩阵空间的维数；大写字母O（orthogonal）代表正交矩阵，U（unitary）代表酉矩阵，S（special）是特殊的意思，表示矩阵的行列式为1。
1700971994
1700971995
比如，举三维空间的旋转群O（3）为例。这里3是指旋转空间的维数，O对应于保持长度和角度不变的正交变换矩阵。具体一点说，正交矩阵O（3）是一个由3×3＝9个实数组成的矩阵，它的3个列向量或者3个行向量，都构成三维空间中3个正交的单位矢量。一般来说，正交矩阵O（3）的行列式可为1或-1。当行列式为-1时，正交矩阵表示的变换是旋转再加反演，简单地说，反演就是将坐标符变号，因而行列式得到一个页号。上面所述的是O（3）旋转群，如果加上字母S，指的便是特殊旋转群SO（3），那意味着，矩阵行列式被限制为1。所以，SO（3）表示的是三维空间中无反演的纯粹旋转。
1700971996
1700971997
有一个比SO（3）更简单的特殊旋转群，是SO（3）的子群，对应于二维空间中的旋转：SO（2）。因为SO（3）和SO（2）都是李群，因此SO（2）是SO（3）的“李子群”。
1700971998
1700971999
物理学中的量子理论与复数关联密切，因此我们将正交群的概念从实数扩展到复数。正交矩阵在复数域中的对应物叫做“酉矩阵”，正交群O（n）便扩展成为元素为复数的酉群U（n）。酉矩阵的行列式一般来说也是一个复数。行列式限制为实数1的酉群被称为“特殊酉群”，记为SU（n）。举个例子：U（1）是一维复数空间的旋转群；SU（2）和SU（3）分别是二维和三维复数空间的特殊旋转群。
1700972000
1700972001
李群是由有限个实数参数的连续变化而生成的连续群。因而，上面列举的旋转李群既具有群的代数结构，又有其几何图形，是参数空间的光滑流形。数学上“光滑”的意思表示无穷可微。如上所述，旋转李群的“群”的性质，可从研究相应的矩阵表示而得到。那么，它们作为“流形”的一面又如何呢？首先让我们看看图3-2-1所示的李群U（1）的图形。
1700972002
1700972003
1700972004