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1637年，费马随便在他阅读的一本书的边沿空白处写下了一个看起来颇像勾股定理的公式：xn＋yn＝zn，并提出了一个猜想：当n大于2的时候，不可能有整数满足这个式子。更玄乎的是，费马还在旁边加上了短短的一句话，意思是说他已经知道如何证明此公式但是那儿的空间太小写不下……这不是明显在吊胃口吗？因此，这个貌似简单的问题，竟让全世界的顶尖数学家们整整忙碌了300多年！那就是著名的费马大定理的故事。此外，费马还提出了一个费马小定理。费马小定理说的是有关质数的问题，可以简单表述如下：假如a是一个整数，p是一个质数，那么（ap-a）是p的倍数。这个费马小定理也许仍然让人觉得在“云里雾里”。不过无所谓，那不是我们的目的，重要的是，这个小定理和群论的发展有点关系。
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简单地说，群就是一组元素的集合，在集合中每2个元素之间，定义了符合一定规则的某种乘法运算规则。说到乘法规则，我们大家会想起小时候背过的九九表。九九表太大了，我们举一个数字较小的乘法表。比如图3-1-1（a），给出了小于5的整数的“四四”乘法表。
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图3-1-1 4个元素的群
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欧拉在1758年证明费马小定理的时候，便碰到了这种类似的乘法表。不过，欧拉不满意像图3-1-1（a）的那种10进制乘法，于是他将乘法规则稍微作了一些改动。在这个小于5的四四表例子中，欧拉把表中的所有元素都除以5，然后将所得的余数构成一个新的表，如图3-1-1（b）所示。按照这种余数乘法的方法，类似于上述n＝5的例子，我们可以对任意的正整数n，都如此构造出一个“余数乘法表”来。
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当我们再仔细研究n＝5的情况，发现图3-1-1（b）中的四四余数表有一个有趣的特点：它的每一行都是由（1、2、3、4）这4个数组成的，每一行中4个数全在，但也不重复，只是改变一下位置的顺序而已。
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上面的特点初看起来没有什么了不起，但欧拉注意到，并不是每一个n用如上方法构成的乘法表都具有这个性质，而是当且仅当n是质数的时候，（n-1）个元素的余数表才具有这个特点。这个有关质数的结论对欧拉证明费马小定理颇有启发。
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以现在群论的说法，图3-1-1（b）中的4个元素，构成了一个“群”，因为这4个元素两两之间定义了一种乘法（在此例中，是整数相乘再求5的余数）。并且，满足群的如下4个基本要求。不妨将它们简称为“群4点”。
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1．封闭性：2个元素相乘后，结果仍然是群中的元素（从图3-1-1（b）中很容易验证）；
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2．结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）（整数相乘满足结合律）；
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3．单位元：存在单位元（幺元），与任何元素相乘后结果不变（在上面例子中对应于元素1）；
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4．逆元：每个元素都存在逆元，元素与其逆元相乘，得到幺元（从图3-1-1（b）中很容易验证）。
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“乘法规则”对“群”的定义很重要。这里的所谓“乘法”，不仅仅限于通常意义下整数、分数、实数、复数间的乘法，其意义要广泛得多。实际上，群论中的“乘法”，只是2个群元之间的某种“操作”而已。实数的乘法是可交换的，群论的“乘法”则不一定。乘法可以交换（或称可对易）的“群”叫做“阿贝尔群”，乘法不对易的“群”叫做“非阿贝尔群”。
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欧拉研究数论时，有了群的模糊概念，但“群”这个名词以及基本设想，却是首先在伽罗瓦研究方程理论时被使用的，这涉及一个年轻数学家的悲惨人生。埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811—1832年）是法国数学家，他在短短20年的生命中所作的最重要工作就是开创建立了“群论”这个无比重要的数学领域。
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伽罗瓦从小就表现出极高的数学才能。他厌倦别的学科，独独对数学痴迷，以至于他在求学的道路上屡遭失败。他多次寄给法国科学院有关群论的精彩论文，也未被接受：柯西让他重写；泊松看不懂；傅里叶身体不好，收到文章后还没看就见上帝去了。对于年轻的伽罗瓦来说，生活道路的坎坷、父亲的自杀身亡，以及卓越的研究成果得不到学界的承认，为他种下了愤世嫉俗、不满社会的祸根。后来，法国七月革命一爆发，伽罗瓦立刻急不可待地投身革命，最后又莫名其妙地陷入了一场极不值得的恋爱纠纷中，并且由此卷入一场决斗。最后，这位“愤青”式的天才数学家，终于在与对手决斗时饮弹身亡。
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伽罗瓦是第一个用群的观点来确定多项式方程可解性的人。真是无独有偶，不幸的事情也往往成双。说到方程可解性，又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802—1829年）。不过，阿贝尔不是愤青，他在27岁时死于贫穷和疾病。
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我们在中学数学中就知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为
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对于3次和4次的多项式方程，数学家们也都得到了相应的一般求根公式，即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后，人们自然地把目光转向探索一般的5次方程的根式解，但历经几百年也未得结果。所有的努力都以失败告终，这使得阿贝尔产生了另外一种想法：5次方程，也许所有次数大于4的方程，根本就没有统一的根式解。
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由于长期得不到大学教职，阿贝尔的生活既无着落又贫病交加，但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了5次方程不可能有根式解，但却没有时间将这个结论推广到大于5的一般情形，就被病魔夺去了短暂的生命。然而，就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后，传来了迟到的好消息：他已经被某大学聘为了教授！
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群论研究的接力棒传到了比阿贝尔小9岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展了群论，又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此：每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群，后人称之为“伽罗瓦群”。一个方程有没有根式解，取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么，置换群和可解群是什么样的呢？这些概念大大超出了本书讨论的范围，在此无法详细叙述，下面从一个特例对置换群作简单介绍，对可解群有兴趣的读者可参阅相关文献[19]。
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置换群的群元素由一个给定集合自身的置换产生。在图3-1-2中，给出了一个简单置换群S3的例子。
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