1700972025
1700972026
不是单连通意味着流形上存在不能连续地收缩到一个点的闭曲线。图3-2-1上的单位圆就是U（1）上的一条闭曲线，它显然不能连续地收缩到一个点，由此表明U（1）不是单连通的。
1700972027
1700972028
一个复数由两个实数组成，复数平面上的转动实际上与二维实数平面上的转动一一对应。这个对应将U（1）群与SO（2）群关联起来，可以证明U（1）与SO（2）是同构的。两个群同构的意思可以大概理解为通常意义上所说的“相同结构”。也就是说，忽略组成每一个群的元素的具体属性、乘法操作的具体规定等，仅仅将“群”的结构性质“抽”出来比较，两个群是相同的。插进一段比喻，也许可以更好地理解“同构”：两个3口之家，陈家和李家，都由父、母、子组成。如果我们只感兴趣研究每个家庭成员的性别及相互关系这种结构的话，可以说这两个家庭是“同构”的。尽管陈妈妈已经60岁，李家儿子刚出生，这些细节都无所谓，我们运用数学“抽象”，只看我们需要看的结构，从而认定两个家庭是“同构”的。而具体的陈家和李家，只不过是这种结构的两个不同的具体表示而已。再进一步，如果另有张姓两兄弟，都分别有老婆和儿子，但大家住一起组成6口人的“张家”。那么显然的，陈家和张家不同构。
1700972029
1700972030
所以，SO（2）与U（1）同构，它们的流形都是一维的，是单位圆。李群流形的维数也叫做“李群的阶数”，等于构成流形的独立参数的个数，与旋转所在空间的维数是两码事。比如SO（2）是二维空间的旋转，对应的旋转矩阵是2×2的。但作为李群，它只需要1个参数（转角）来表示，因而是1阶李群。见图3-2-1（c）右下角的2×2矩阵，矩阵是二维的，但参数只有一个：φ，因而流形是一维的。
1700972031
1700972032
二维实数空间的SO（2）特殊旋转群与一维复数平面上的旋转群U（1）同构。那么，维数比它们高一阶的实数和复数旋转群之间是否也有类似的关系呢？比SO（2）维数高一维的是SO（3），比U（1）高一维的是U（2）。这两类旋转群的关系究竟如何？
1700972033
1700972034
首先研究我们所熟悉的三维实空间的旋转，它对应于SO（3）群。欧拉证明过一个欧拉旋转定理，说的是任何一个三维旋转，都可以表示成一个固定方向的转轴加上绕此转轴的转动。转轴的方向需要两个实数参数决定，绕着该轴旋转的角度则是第3个参数，所以群SO（3）中的元素可以用3个实参数表示。比如我们通常所用的欧拉角表示法，α、β、γ就是3个不同的参数，其中α从0变到2π；β从0变到π；γ从0变到2π，见图3-2-3（a）。独立参数的个数为3，所以李群SO（3）的阶数等于3。
1700972035
1700972036
1700972037
1700972038
1700972039
图3-2-3 SO（3）和SU（2）
1700972040
1700972041
而U（2）群描述的是二维复数平面上的旋转，一个复数由2个实数组成，两个复数便有4个独立的实数变量，这样U（2）的阶数为4，不同于SO（3）的阶数3。但是，如果考虑特殊酉群SU（2），它需要满足“模为1”的条件，这样便使得独立变量数目减少了1个，成为3。因此，SU（2）与SO（3）的阶数相同，都是三维流形，通常我们便将这两个连续群进行比较。
1700972042
1700972043
图3-2-1所示的U（1）（或SO（2））群足够简单，其流形能够用一个圆周表示出来，而三维空间旋转群SO（3）的流形就难以用图形画出来了。
1700972044
1700972045
因为是3个参数，所以SO（3）的流形是个三维空间，但整体而言却不同于简单的欧氏空间。如果是2个参数构成的二维流形的话，我们还有可能用嵌入三维空间中的曲面画出来。但对SO（3）这种流形本身是三维空间的情况，需要将它嵌入四维或更高维数的空间中，成为其中的一个三维超曲面！那种图形，我们可怜的大脑实在难以想象。
1700972046
1700972047
不过，数学家和物理学家们仍然对SO（3）及SU（2）做了很多研究，确定了它们的流形的许多基本几何性质[20]。比如，尽管SO（3）流形的直观图像无法画出，但可以证明它是连通的，却不是单连通的（有关连通图形，见图3-2-2）。这一点性质与图3-2-1中SO（2）的圆圈类似。
1700972048
1700972049
因为一个三维旋转可以表示成一个固定方向的转轴加上绕此转轴的旋转角，旋转角取值从＋π到-π。因此，我们可以将这个转动对应于一个半径小于或等于π的三维实心球中的一个点，如图3-2-3（b）所示的A、B、C等点。这个点与球心所成矢量的方向，表示转动轴的方向，矢量的长度，则表示转角的大小。比如，位于球面上的A点，可以表示绕着OA顺时针旋转180°（π），A′点便表示绕着OA逆时针旋转180°。而位于该实心球内部的B点和C点，对应的则是绕着相应转动轴的小于180°的旋转（旋转角γ<π）。
1700972050
1700972051
因此，这个实心球可以看作是SO（3）的流形。不过还有一个问题：绕一个给定轴转动π，等于绕相反方向的轴转动-π。所以，球面π上的每个点，与它的反方向的对应点，表示的是同一个点。比如图3-2-3（b）中的A和A′，实际上表示的是同一个转动。因此，这样的两个点应该被粘在一起！仅仅将A和A′粘在一起还可以想象，要将球面上所有的直径端点都如此粘起来，就又感觉脑细胞不够用了。不过无论如何，到此为止，我们对SO（3）的拓扑结构已经有了一点点了解。
1700972052
1700972053
那么，SO（3）和SU（2）到底是什么关系呢？SU（2）是二维复数空间中模为1的旋转群，可以用图3-2-3（c）所示的二维复数矩阵来表示。SU（2）的酉矩阵与SO（3）实心球中的点是2对1的关系。如果SU（2）的1个元素，例如图3-2-3（c）中的U，对应于SO（3）中的C点（图3-2-3（b））的话，变换（-U）也对应于同样的C点。换言之，三维空间的一个旋转，对应于复数空间2个幺模旋转。用群论的语言来说：SU（2）与SO（3）两群间存在2：1的同态关系。注意，这里所谓的“2：1同态”，有点类似于刚才家庭结构比喻中的张家和陈家。同构是一一对应的同态。
1700972054
1700972055
无论如何，人脑直观想象几何图像的能力毕竟有限。当几何图形画不出来的时候，“代数”可以来帮忙。对于李群流形的研究也是这样，可以请来它的同宗兄弟“李代数”助阵。因此，下一节中我们仍然以这几个旋转群为例，对李群上的“李代数”略作介绍。
1700972056
1700972057
1700972058
1700972059
1700972060
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970771]
1700972061
爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 3．何谓“李代数”
1700972062
1700972063
1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中，讲到反物质、对称和自旋时，为了生动地解释电子自旋，身体力行地模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程，如图3-3-1（a）所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演赢来掌声一片。
1700972064
1700972065
1700972066
1700972067
1700972068
图3-3-1 在三维空间旋转360°，一定能够复原吗？
1700972069
1700972070
费曼奇妙的旋转演示，与物理中深奥的自旋概念，有着什么样的联系呢？
1700972071
1700972072
在“2．奇妙的旋转”一节中我们介绍了几种旋转李群。二维复数空间的特殊旋转群SU（2），与三维实数的特殊旋转群SO（3），是2：1的同态关系。在物理上，SU（2）中的1个元素，对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的1个转动，它与三维旋转群SO（3）之间2：1的同态关系意味着：如果自旋1/2粒子的一个旋转（U），对应于SO（3）中的某个转动O的话，旋转变换（-U）也将对应于同样的转动O。
1700972073
1700972074
事实上，SU（2）变换可以类似于SO（3），其矩阵形式可用相应的3个欧拉角［α、β、γ］来表示：