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全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了,是由无限多个实数元素组成的连续群,因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换,因而这是一个“无限”、“连续”的阿贝尔群。
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可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易,所以构成的是非阿贝尔群。
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连续群和离散群的性质大不相同,就像盒子里装的是一堆玻璃弹子,或装的是一堆玻璃细沙不同一样,因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量发生变化而生成的,这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构,又是一个n维微分流形,便称之为“李群”,以挪威数学家索菲斯·李(Sophus Lie,1842年—1899年)的名字而命名。有关“流形”的例子,请参阅第一篇“4.惯性、引力、流形与几何”的介绍。李群对理论物理很重要,下一节中,我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。
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爱因斯坦与万物之理:统一路上人和事 2.奇妙的旋转
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我们到处都能看到旋转的物体。铁路和公路上车轮滚滚,舞台上芭蕾舞演员转圈频频。宇宙中的星云、我们居住的地球、太阳系和银河系,这些天体都处于永恒而持久的旋转运动中。
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物理学与各种旋转结下不解之缘,从力学中研究的刚体转动,到量子理论中的粒子自旋都与旋转有关。地球绕太阳转、月亮绕地球转、滚珠在轴承滚道中转、电子绕原子核转……每一层次的实验和理论中似乎都少不了旋转。物理中的旋转除了在真实时空中的旋转之外,还有一大部分是在假想的、抽象的空间中的旋转,比如动量空间、希尔伯特空间、自旋空间、同位旋空间等。
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在“1.少年天才创群论”一节中我们介绍了群论的基本概念,空间中的旋转也构成群,并且,旋转群是物理中非常重要的一类群。旋转群有离散的和连续的之分。连续旋转群具有天然的流形结构,是一种李群,理论物理,特别是统一理论中所感兴趣的旋转李群有SO(3)、SO(2)、U(1)、SU(2)、SU(3)等。
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旋转可以用大家熟知的矩阵来表示。因此,我们首先用矩阵的语言,解释一下上面所列的一串符号是什么意思:每个符号括号中的数字(3、2、1)是表示旋转的矩阵空间的维数;大写字母O(orthogonal)代表正交矩阵,U(unitary)代表酉矩阵,S(special)是特殊的意思,表示矩阵的行列式为1。
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比如,举三维空间的旋转群O(3)为例。这里3是指旋转空间的维数,O对应于保持长度和角度不变的正交变换矩阵。具体一点说,正交矩阵O(3)是一个由3×3=9个实数组成的矩阵,它的3个列向量或者3个行向量,都构成三维空间中3个正交的单位矢量。一般来说,正交矩阵O(3)的行列式可为1或-1。当行列式为-1时,正交矩阵表示的变换是旋转再加反演,简单地说,反演就是将坐标符变号,因而行列式得到一个页号。上面所述的是O(3)旋转群,如果加上字母S,指的便是特殊旋转群SO(3),那意味着,矩阵行列式被限制为1。所以,SO(3)表示的是三维空间中无反演的纯粹旋转。
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有一个比SO(3)更简单的特殊旋转群,是SO(3)的子群,对应于二维空间中的旋转:SO(2)。因为SO(3)和SO(2)都是李群,因此SO(2)是SO(3)的“李子群”。
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物理学中的量子理论与复数关联密切,因此我们将正交群的概念从实数扩展到复数。正交矩阵在复数域中的对应物叫做“酉矩阵”,正交群O(n)便扩展成为元素为复数的酉群U(n)。酉矩阵的行列式一般来说也是一个复数。行列式限制为实数1的酉群被称为“特殊酉群”,记为SU(n)。举个例子:U(1)是一维复数空间的旋转群;SU(2)和SU(3)分别是二维和三维复数空间的特殊旋转群。
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李群是由有限个实数参数的连续变化而生成的连续群。因而,上面列举的旋转李群既具有群的代数结构,又有其几何图形,是参数空间的光滑流形。数学上“光滑”的意思表示无穷可微。如上所述,旋转李群的“群”的性质,可从研究相应的矩阵表示而得到。那么,它们作为“流形”的一面又如何呢?首先让我们看看图3-2-1所示的李群U(1)的图形。
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图3-2-1 U(1)群和SO(2)群
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根据酉群的定义,U(1)由1×1的所有酉矩阵构成。维数为1的矩阵只有一个元素,这里就是一个复数c。酉矩阵中的“酉”字表示正交归一的意思,这里也就是将复数c的模限制为1。
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矩阵群U(1)算是最简单的李群,对它稍加研究有助于我们对李群的理解。
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一个复数由两个实数组成,可以表示成二维实数空间中的一个点。U(1)群的元素包括模为1的所有复数,可以表示为:u=eiφ。尽管复数u的模为1,但幅角φ还可以任意变化,所以U(1)是由复数平面上所有长度为1的矢量绕着原点转动形成的单位圆构成的,如图3-2-1(b)所示。
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为什么说这些矢量构成“群”呢?比如说,图3-2-1(b)中单位圆上标示的两个点:Z1=eiφ1、Z2=eiφ2,是U(1)群的两个元素,它们的乘积用复数Z表示,。这两个复数相乘,只需要将它们的幅角相加,相乘的结果Z仍然在单位圆上,仍然属于U(1)群,这是“群4点”要求中的第一点。第二点是结合律,复数乘法自然满足。第三点:U(1)群的幺元对应于幅角为0的元素,也就是实数1。第四点:群中任何一个元素都有逆元,只需要把幅角反过来就可以了,图3-2-1(b)中标示出了Z1的逆元。
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以上的分析说明复数平面单位圆上所有的点构成群,这个群表示复数平面上所有模为1,幅角从0~2π的所有旋转,将这个群记为U(1)。这个群中的元素是随着幅角φ的变化而连续变化,是李群。幅角φ就是这个李群的参数。
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图3-2-1(b)中的单位圆,便是李群U(1)的流形。这个流形是连通的,但不是单连通的。图3-2-2给予流形的连通性质以直观解释。
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图3-2-2 各种连通情况
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