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全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了，是由无限多个实数元素组成的连续群，因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换，因而这是一个“无限”、“连续”的阿贝尔群。
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可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易，所以构成的是非阿贝尔群。
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连续群和离散群的性质大不相同，就像盒子里装的是一堆玻璃弹子，或装的是一堆玻璃细沙不同一样，因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量发生变化而生成的，这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个n维微分流形，便称之为“李群”，以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842年—1899年）的名字而命名。有关“流形”的例子，请参阅第一篇“4．惯性、引力、流形与几何”的介绍。李群对理论物理很重要，下一节中，我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970770]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．奇妙的旋转
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我们到处都能看到旋转的物体。铁路和公路上车轮滚滚，舞台上芭蕾舞演员转圈频频。宇宙中的星云、我们居住的地球、太阳系和银河系，这些天体都处于永恒而持久的旋转运动中。
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物理学与各种旋转结下不解之缘，从力学中研究的刚体转动，到量子理论中的粒子自旋都与旋转有关。地球绕太阳转、月亮绕地球转、滚珠在轴承滚道中转、电子绕原子核转……每一层次的实验和理论中似乎都少不了旋转。物理中的旋转除了在真实时空中的旋转之外，还有一大部分是在假想的、抽象的空间中的旋转，比如动量空间、希尔伯特空间、自旋空间、同位旋空间等。
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在“1．少年天才创群论”一节中我们介绍了群论的基本概念，空间中的旋转也构成群，并且，旋转群是物理中非常重要的一类群。旋转群有离散的和连续的之分。连续旋转群具有天然的流形结构，是一种李群，理论物理，特别是统一理论中所感兴趣的旋转李群有SO（3）、SO（2）、U（1）、SU（2）、SU（3）等。
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旋转可以用大家熟知的矩阵来表示。因此，我们首先用矩阵的语言，解释一下上面所列的一串符号是什么意思：每个符号括号中的数字（3、2、1）是表示旋转的矩阵空间的维数；大写字母O（orthogonal）代表正交矩阵，U（unitary）代表酉矩阵，S（special）是特殊的意思，表示矩阵的行列式为1。
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比如，举三维空间的旋转群O（3）为例。这里3是指旋转空间的维数，O对应于保持长度和角度不变的正交变换矩阵。具体一点说，正交矩阵O（3）是一个由3×3＝9个实数组成的矩阵，它的3个列向量或者3个行向量，都构成三维空间中3个正交的单位矢量。一般来说，正交矩阵O（3）的行列式可为1或-1。当行列式为-1时，正交矩阵表示的变换是旋转再加反演，简单地说，反演就是将坐标符变号，因而行列式得到一个页号。上面所述的是O（3）旋转群，如果加上字母S，指的便是特殊旋转群SO（3），那意味着，矩阵行列式被限制为1。所以，SO（3）表示的是三维空间中无反演的纯粹旋转。
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有一个比SO（3）更简单的特殊旋转群，是SO（3）的子群，对应于二维空间中的旋转：SO（2）。因为SO（3）和SO（2）都是李群，因此SO（2）是SO（3）的“李子群”。
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物理学中的量子理论与复数关联密切，因此我们将正交群的概念从实数扩展到复数。正交矩阵在复数域中的对应物叫做“酉矩阵”，正交群O（n）便扩展成为元素为复数的酉群U（n）。酉矩阵的行列式一般来说也是一个复数。行列式限制为实数1的酉群被称为“特殊酉群”，记为SU（n）。举个例子：U（1）是一维复数空间的旋转群；SU（2）和SU（3）分别是二维和三维复数空间的特殊旋转群。
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李群是由有限个实数参数的连续变化而生成的连续群。因而，上面列举的旋转李群既具有群的代数结构，又有其几何图形，是参数空间的光滑流形。数学上“光滑”的意思表示无穷可微。如上所述，旋转李群的“群”的性质，可从研究相应的矩阵表示而得到。那么，它们作为“流形”的一面又如何呢？首先让我们看看图3-2-1所示的李群U（1）的图形。
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图3-2-1 U（1）群和SO（2）群
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根据酉群的定义，U（1）由1×1的所有酉矩阵构成。维数为1的矩阵只有一个元素，这里就是一个复数c。酉矩阵中的“酉”字表示正交归一的意思，这里也就是将复数c的模限制为1。
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矩阵群U（1）算是最简单的李群，对它稍加研究有助于我们对李群的理解。
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一个复数由两个实数组成，可以表示成二维实数空间中的一个点。U（1）群的元素包括模为1的所有复数，可以表示为：u＝eiφ。尽管复数u的模为1，但幅角φ还可以任意变化，所以U（1）是由复数平面上所有长度为1的矢量绕着原点转动形成的单位圆构成的，如图3-2-1（b）所示。
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为什么说这些矢量构成“群”呢？比如说，图3-2-1（b）中单位圆上标示的两个点：Z1＝eiφ1、Z2＝eiφ2，是U（1）群的两个元素，它们的乘积用复数Z表示，。这两个复数相乘，只需要将它们的幅角相加，相乘的结果Z仍然在单位圆上，仍然属于U（1）群，这是“群4点”要求中的第一点。第二点是结合律，复数乘法自然满足。第三点：U（1）群的幺元对应于幅角为0的元素，也就是实数1。第四点：群中任何一个元素都有逆元，只需要把幅角反过来就可以了，图3-2-1（b）中标示出了Z1的逆元。
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以上的分析说明复数平面单位圆上所有的点构成群，这个群表示复数平面上所有模为1，幅角从0～2π的所有旋转，将这个群记为U（1）。这个群中的元素是随着幅角φ的变化而连续变化，是李群。幅角φ就是这个李群的参数。
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图3-2-1（b）中的单位圆，便是李群U（1）的流形。这个流形是连通的，但不是单连通的。图3-2-2给予流形的连通性质以直观解释。
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图3-2-2 各种连通情况