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因为一个三维旋转可以表示成一个固定方向的转轴加上绕此转轴的旋转角，旋转角取值从＋π到-π。因此，我们可以将这个转动对应于一个半径小于或等于π的三维实心球中的一个点，如图3-2-3（b）所示的A、B、C等点。这个点与球心所成矢量的方向，表示转动轴的方向，矢量的长度，则表示转角的大小。比如，位于球面上的A点，可以表示绕着OA顺时针旋转180°（π），A′点便表示绕着OA逆时针旋转180°。而位于该实心球内部的B点和C点，对应的则是绕着相应转动轴的小于180°的旋转（旋转角γ<π）。
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因此，这个实心球可以看作是SO（3）的流形。不过还有一个问题：绕一个给定轴转动π，等于绕相反方向的轴转动-π。所以，球面π上的每个点，与它的反方向的对应点，表示的是同一个点。比如图3-2-3（b）中的A和A′，实际上表示的是同一个转动。因此，这样的两个点应该被粘在一起！仅仅将A和A′粘在一起还可以想象，要将球面上所有的直径端点都如此粘起来，就又感觉脑细胞不够用了。不过无论如何，到此为止，我们对SO（3）的拓扑结构已经有了一点点了解。
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那么，SO（3）和SU（2）到底是什么关系呢？SU（2）是二维复数空间中模为1的旋转群，可以用图3-2-3（c）所示的二维复数矩阵来表示。SU（2）的酉矩阵与SO（3）实心球中的点是2对1的关系。如果SU（2）的1个元素，例如图3-2-3（c）中的U，对应于SO（3）中的C点（图3-2-3（b））的话，变换（-U）也对应于同样的C点。换言之，三维空间的一个旋转，对应于复数空间2个幺模旋转。用群论的语言来说：SU（2）与SO（3）两群间存在2：1的同态关系。注意，这里所谓的“2：1同态”，有点类似于刚才家庭结构比喻中的张家和陈家。同构是一一对应的同态。
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无论如何，人脑直观想象几何图像的能力毕竟有限。当几何图形画不出来的时候，“代数”可以来帮忙。对于李群流形的研究也是这样，可以请来它的同宗兄弟“李代数”助阵。因此，下一节中我们仍然以这几个旋转群为例，对李群上的“李代数”略作介绍。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970771]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 3．何谓“李代数”
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1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲中，讲到反物质、对称和自旋时，为了生动地解释电子自旋，身体力行地模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程，如图3-3-1（a）所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演赢来掌声一片。
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图3-3-1 在三维空间旋转360°，一定能够复原吗？
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费曼奇妙的旋转演示，与物理中深奥的自旋概念，有着什么样的联系呢？
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在“2．奇妙的旋转”一节中我们介绍了几种旋转李群。二维复数空间的特殊旋转群SU（2），与三维实数的特殊旋转群SO（3），是2：1的同态关系。在物理上，SU（2）中的1个元素，对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的1个转动，它与三维旋转群SO（3）之间2：1的同态关系意味着：如果自旋1/2粒子的一个旋转（U），对应于SO（3）中的某个转动O的话，旋转变换（-U）也将对应于同样的转动O。
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事实上，SU（2）变换可以类似于SO（3），其矩阵形式可用相应的3个欧拉角［α、β、γ］来表示：
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式（3-1）中的后一部分，是当固定转轴（α＝0，β＝0）简化后的情况。从U（0，0，γ）的表达式可知，如果γ＝2π，也就是三维空间中旋转了360°时，SU（2）中的元素U（0，0，γ）只是改变了符号，相当于旋转180°。而如果当γ＝4π，也就是三维空间中旋转了720°时，U（0，0，γ）才变回原来的符号，等效于自旋空间中一个360°的旋转。
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所以，自旋空间中的旋转只等于真实三维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子，或者说费米子的特性。但自旋是微观粒子的内禀特性，经典世界中并无对应物。那么，在真实世界中是否也存在这种现象，旋转360°不能恢复原来的状态，只有当旋转720°时才能恢复？费曼所作的演示便给出了这个问题的答案。费曼的演示实验，实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’s belt”“Dirac’s scissors”等实验想法，详情请见图3-3-1（b）。
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然而，这些真实空间中的旋转演示，毕竟不同于自旋空间中的转动，还是让更为强大的数学武器——李代数来帮助我们，才能对旋转李群有更深的理解。
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自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，数学家们就喜欢上了“无穷小”。凡事都要“万世不竭”地追究下去。他们将无穷小概念搬上几何，便有了微分几何。我们曾经介绍过的数学家外尔，也是因为热衷于探究“纯粹无穷小”，才走上了创立规范理论之路。
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现在，我们将这“无穷小”用到连续旋转群上试试看，也就是说考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形，是作无穷小试验的好对象，因为李群既是群，又是解析的、无限可微的流形。这一特点，对研究它带来了复杂性，却也有其特殊的优越性。
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李群既然是群，它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元，我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。一个n阶李群流形中的每一点G，可以用n个参数ci表示：G（c1，c2，…，cn）。为方便起见，在幺元处将这些参数的值取为0：G（0，0，…，0）＝（1），这里用（1）来表示幺元。
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还是回到曾经讨论过的最简单李群U（1）。它由复数平面上的所有旋转G（θ）＝eiθ构成，因此，U（1）的流形是单位圆（图3-3-2（a））。这里的G（θ）代表群元素，θ是连续变化的实参数。当θ等于0的时候，G＝1，对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么，如果θ有别于0，但等于一个很小的数值ε的话，便将对应于一个无穷小的旋转：
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G（ε）＝1＋iε， （3-2）
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图3-3-2 李群和李代数