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李群流形上每一个点的切空间都可以和幺元上的切空间关联起来，这个特性表明李群流形的切丛是平凡的，这也就是为什么只用幺元上的切空间（李代数）便能描述整个群的特征。并不是所有的微分流形都能赋予“群”的结构，如果流形的切丛不平凡，便没有群结构与其对应，比如说，一维球面（圆）S1可以对应于二维空间的旋转，但二维球面S2就不是一个李群流形，因为二维球面的切丛是不平凡的。三维球面S3则与SU（2）同构。不过，切丛平凡不是流形能够被赋予群结构的充要条件，如七维球面有一个平凡的切丛，但却不是李群，没有相应的群结构。
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如上所述，李群上的李代数，就是流形上对应于幺元那个点上的切空间[21]，见图3-3-2（c）。不过，要在矢量空间中构成“代数”，还得加上满足一定条件的某种2元运算。这些条件包括：双线性、反对称、雅可比恒等式等。李代数上定义的这种2元运算被称之为“李括号”，用符号［X，Y］表示。换句话说：李代数是用李括号装备起来了的幺元上的切空间。李括号［X，Y］可以用不同的方式定义，比如说：如果流形上定义了李导数，李括号便可以定义为幺元上的李导数。在三维矢量空间中，李括号可以定义为两个矢量的叉乘。对我们这里所感兴趣的旋转群来说，矩阵是最简单直观的表示方式。因而，李括号可以用其表示空间的矩阵交换乘法运算来定义：
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［X，Y］＝XY-YX
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为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数（切空间）是性质更为简单的线性矢量空间。李群可以看作是李代数的指数映射：exp（李代数）＝李群，李群中群元之间的“乘法”，在李代数中变成了更容易计算的参数相加。此外，如果李群是连通的，则称为“简单李群”（U（1）、SU（2）、SU（3）都是简单李群）。简单李群的任意群元素都可以由无穷小生成元连续作用而生成，李代数便能完全描写简单李群的局部性质。生成元之间李括号的对易性与李群中乘法的对易性密切相关。
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每一个李群上都有幺元，幺元上的切空间便能定义李代数。反过来呢？有了李代数，可以通过指数映射得到李群，但是与同一个李代数对应的李群并不一定是唯一的。
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比如，返回到U（1）群的例子。幺元上的切线，即图3-3-3（a）中圆圈右侧的直线，便是U（1）群的李代数。二维实数空间旋转群SO（2）和U（1）群同构，因而它们的无穷小群也类似，具有同样的李代数，即一维实数空间R1。然而，全体实数R1的加法也构成一个李群，幺元即为实数0，（图3-3-3（a）的左上图），显然过实数0的切空间就是R1本身。所以，这个实数加法群的群流形和李代数均为R1。因此，如图3-3-3（a）所示，如果反过来，从R1找相应李群的话，找到的李群流形将不止一个。至少能找到像“实数加法群”那种一维实数空间，以及对应于SO（2）或U（1）的单位圆这两种不同的结构。
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图3-3-3 U（1）群和SU（2）的李代数
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如前所述，SO（3）和SU（2）的群结构是同态但不同构，但它们的李代数是相同（同构）的。
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同样的李代数可以对应不同的李群流形，这是因为李代数只能描述李群的局部性质，不能描述流形的整体拓扑。比如图3-3-3（a）的两个李群流形，从直观的几何图形就能看出来，单位圆的局部特征与R1是一样的，但整体拓扑结构却不一样。
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理论物理中感兴趣的是构成李代数这个线性矢量空间中的基矢量，也就是李群的生成元。图3-3-3（b）显示的是SU（2）的生成元，就是量子力学中的泡利矩阵。李群的生成元与物理中的守恒量密切相关，将在下一节中叙述。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970772]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 4．数学才女论守恒
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在19世纪男性主宰的数学王国中，走出了一位杰出的女数学家：艾米·诺特。她不仅对抽象代数作出重要贡献，也为物理学家们点灯指路。她有关对称和守恒的美妙定理，揭开了自然界一片神秘的面纱。
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艾米·诺特（Emmy Noether，1882—1935年）是一位才华洋溢的德国数学家，曾经受到外尔、希尔伯特及爱因斯坦等人的高度赞扬。当年的希尔伯特为了极力推荐诺特得到大学教职，曾用犀利的语言嘲笑那些性别歧视的学究们说：“大学又不是澡堂！”
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诺特对理论物理最重要的贡献是她的“诺特定理”[22]。这个定理将表示对称性的李群的生成元与物理学中的守恒定律联系起来。表面上看起来，对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量对时间变化的规律，两者似乎不是一码事。但是，这位数学才女却从中悟出了两者间深刻的内在联系。
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我们继续了解无穷小群以及李群的生成元。从对称性这方面出发，描述它们与物理守恒定律之间的联系。再写一遍U（1）群（或平面转动SO（2）群）的无穷小群生成元：
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G（ε）＝1＋iε， （3-3）
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现在，我们考虑三维旋转群SO（3）的无穷小群。三维旋转可以通过绕空间3个独立转轴的二维转动来实现，所以应该有3种可能的类似于式（3-3）的无限小转动：
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g＝1＋iε1A1， （3-4）
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g＝1＋iε2A2， （3-5）
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g＝1＋iε3A3， （3-6）
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