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图3-4-1 三维转动不对易
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比较式（3-3），这几个式子中多出了符号Ai，这是因为三维空间中绕不同方向轴的旋转是不对易的。读者从图3-4-1中很容易验证这种不对易性：图3-4-1（a）是将一本书先绕X轴旋转90°，再绕Z轴旋转90°；而图3-4-1（b）所示的是将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90°，再绕X轴旋转90°。在2个过程中，2次旋转的前后次序不同，造成最后结果不同，而证明了这2次转动是不可对易的。
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因为三维空间旋转不对易，所以SO（3）不是阿贝尔群。这个“非阿贝尔”的性质在它的无穷小群（李代数）上便由算符Ai之间的“李括号”表现出来。对三维旋转群SO（3）而言，3个算符Ai之间的李括号对易子满足下面的对易式：
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［A1，A2］＝A1A2-A2A1＝iA3 （3-7）
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［A2，A3］＝A2A3-A3A2＝iA1 （3-8）
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［A3，A1］＝A3A1-A1A3＝iA2 （3-9）
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这些互相不对易的Ai被称之为李群SO（3）的“生成元”。独立生成元的个数等于李群的阶数，“李群上的李代数”实际上便是研究这些生成元的理论。
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为了更清楚地解释生成元的意义，我们首先通过几条简单的代数运算，将SO（3）无穷小群的表达式（3-4）至式（3-6）改写成生成元的表达式：
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熟悉微积分的读者会觉得这些公式有点眼熟，它们与微积分中导数的定义在形式上颇为相似。式（3-10）中的（1）是什么呢？并不是简单的实数值1，而是李群中对应于参数ε＝0时的幺元：（1）＝g（0）。所以，如此看来，生成元A似乎就相当于在幺元处对李群流形的参数曲线作微分时切线的斜率，这也就与我们之前所述“李群上的李代数就是幺元上的切空间”的说法一致，生成元则可看作是构成这个切空间的基矢量。旋转群SO（3）有3个参数，切空间是三维的，因而有3个独立的基矢量A1、A2、A3。空间的基矢量可以有多种方式选取，比如说，我们可以用对群参数1阶导数的微分算符来表示基矢量：
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这里还需插进与“量子”有关的一点说明。
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细心的读者可能会注意到，上述有关群参数的公式中式（3-3）到式（3-11），总是写iε而不是ε，为什么多了一个纯虚数i呢？如果讨论对象仅仅是经典力学中的转动群SO（2）和SO（3）的话，完全不需要引进复数。但因为统一理论中的研究对象是量子化的，量子理论中少不了复数，所以为了方便起见而从一开始便使用复数表示。简单地说，使用复数是为了保证公式（3-11）中的生成元是厄密算符。
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生成元算符中的约化普朗克常数（ℏ＝h/2π），是量子现象的象征。在自然单位系统中，约化普朗克常数取为1（ℏ＝1），普朗克常数则为2π。因此，量子可观测量的算符等于经典算符乘上一个因子-i。
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图3-4-2 艾米·诺特和诺特定理
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生成元算符之间的代数关系，即李括号，表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来。诺特定理的意思是说，每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元，都对应一个物理中的守恒量。物理对称性有两种：时空对称性和内禀对称性。比如说，如图3-4-2所举的例子，空间平移群的生成元，对应于动量守恒定律；时间平移群的生成元，对应于能量守恒定律；旋转群SO（3）的生成元，则对应于角动量守恒定律。
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此外，规范不变反映了物理系统的内禀对称性，统一理论标准模型中的规范对称，用U（1）×SU（2）×SU（3）来表示。考察一下最简单的情形：当U（1）群用在电磁规范场中时，所对应的守恒量是什么？电磁场规范变换φ→eiqθ（x）φ的群元素是g＝eiqθ（x），旋转角θ是群参数，对θ求导后得到生成元为q，所以对应于电磁规范场U（1）的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导，同位旋空间的SU（2）规范变换对应于同位旋守恒，夸克场的SU（3）则对应于“色”荷守恒。此外，除了诺特定理最初所说的连续对称性之外，在量子力学中，某些离散对称性也对应守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。
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总之，现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。感谢诺特这位伟大的女性，为我们揭开了数学和物理之间这个妙不可言的神秘联系。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970773]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 5．对称破缺之谜
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大千世界中处处见对称，但不对称的现象也举目皆是。上帝在创立经典物理定律时可能比较注意不偏不倚，否则叫人类如何去认识自然规律呢？但上帝并不是一个左右不分的痴呆者，自然规律要简单，世间万物却要五彩缤纷。在创造世界万物的时候，上帝便充分发挥他的创造力和想象力，否则，“万物之灵”的生命就不会产生了。
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观察我们周围的世界：人的左脸并不完全等同于右脸；大多数人的心脏长在左边，大多数的DNA分子是右旋的；地球并不是一个完全规则的球形。正是因为对称中有了这些不对称的元素，对称与不对称的和谐交汇，创造了我们的世界。