打字猴:1.700972146e+09
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1700972147 G(ε)=1+iε,  (3-3)
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1700972149 现在,我们考虑三维旋转群SO(3)的无穷小群。三维旋转可以通过绕空间3个独立转轴的二维转动来实现,所以应该有3种可能的类似于式(3-3)的无限小转动:
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1700972151 g=1+iε1A1,  (3-4)
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1700972153 g=1+iε2A2,  (3-5)
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1700972155 g=1+iε3A3,  (3-6)
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1700972160 图3-4-1 三维转动不对易
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1700972162 比较式(3-3),这几个式子中多出了符号Ai,这是因为三维空间中绕不同方向轴的旋转是不对易的。读者从图3-4-1中很容易验证这种不对易性:图3-4-1(a)是将一本书先绕X轴旋转90°,再绕Z轴旋转90°;而图3-4-1(b)所示的是将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90°,再绕X轴旋转90°。在2个过程中,2次旋转的前后次序不同,造成最后结果不同,而证明了这2次转动是不可对易的。
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1700972164 因为三维空间旋转不对易,所以SO(3)不是阿贝尔群。这个“非阿贝尔”的性质在它的无穷小群(李代数)上便由算符Ai之间的“李括号”表现出来。对三维旋转群SO(3)而言,3个算符Ai之间的李括号对易子满足下面的对易式:
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1700972166 [A1,A2]=A1A2-A2A1=iA3  (3-7)
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1700972168 [A2,A3]=A2A3-A3A2=iA1  (3-8)
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1700972170 [A3,A1]=A3A1-A1A3=iA2  (3-9)
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1700972172 这些互相不对易的Ai被称之为李群SO(3)的“生成元”。独立生成元的个数等于李群的阶数,“李群上的李代数”实际上便是研究这些生成元的理论。
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1700972174 为了更清楚地解释生成元的意义,我们首先通过几条简单的代数运算,将SO(3)无穷小群的表达式(3-4)至式(3-6)改写成生成元的表达式:
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1700972179 熟悉微积分的读者会觉得这些公式有点眼熟,它们与微积分中导数的定义在形式上颇为相似。式(3-10)中的(1)是什么呢?并不是简单的实数值1,而是李群中对应于参数ε=0时的幺元:(1)=g(0)。所以,如此看来,生成元A似乎就相当于在幺元处对李群流形的参数曲线作微分时切线的斜率,这也就与我们之前所述“李群上的李代数就是幺元上的切空间”的说法一致,生成元则可看作是构成这个切空间的基矢量。旋转群SO(3)有3个参数,切空间是三维的,因而有3个独立的基矢量A1、A2、A3。空间的基矢量可以有多种方式选取,比如说,我们可以用对群参数1阶导数的微分算符来表示基矢量:
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1700972184 这里还需插进与“量子”有关的一点说明。
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1700972186 细心的读者可能会注意到,上述有关群参数的公式中式(3-3)到式(3-11),总是写iε而不是ε,为什么多了一个纯虚数i呢?如果讨论对象仅仅是经典力学中的转动群SO(2)和SO(3)的话,完全不需要引进复数。但因为统一理论中的研究对象是量子化的,量子理论中少不了复数,所以为了方便起见而从一开始便使用复数表示。简单地说,使用复数是为了保证公式(3-11)中的生成元是厄密算符。
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1700972188 生成元算符中的约化普朗克常数(ℏ=h/2π),是量子现象的象征。在自然单位系统中,约化普朗克常数取为1(ℏ=1),普朗克常数则为2π。因此,量子可观测量的算符等于经典算符乘上一个因子-i。
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1700972193 图3-4-2 艾米·诺特和诺特定理
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1700972195 生成元算符之间的代数关系,即李括号,表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来。诺特定理的意思是说,每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元,都对应一个物理中的守恒量。物理对称性有两种:时空对称性和内禀对称性。比如说,如图3-4-2所举的例子,空间平移群的生成元,对应于动量守恒定律;时间平移群的生成元,对应于能量守恒定律;旋转群SO(3)的生成元,则对应于角动量守恒定律。
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