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此外，规范不变反映了物理系统的内禀对称性，统一理论标准模型中的规范对称，用U（1）×SU（2）×SU（3）来表示。考察一下最简单的情形：当U（1）群用在电磁规范场中时，所对应的守恒量是什么？电磁场规范变换φ→eiqθ（x）φ的群元素是g＝eiqθ（x），旋转角θ是群参数，对θ求导后得到生成元为q，所以对应于电磁规范场U（1）的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导，同位旋空间的SU（2）规范变换对应于同位旋守恒，夸克场的SU（3）则对应于“色”荷守恒。此外，除了诺特定理最初所说的连续对称性之外，在量子力学中，某些离散对称性也对应守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。
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总之，现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。感谢诺特这位伟大的女性，为我们揭开了数学和物理之间这个妙不可言的神秘联系。
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970773]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 5．对称破缺之谜
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大千世界中处处见对称，但不对称的现象也举目皆是。上帝在创立经典物理定律时可能比较注意不偏不倚，否则叫人类如何去认识自然规律呢？但上帝并不是一个左右不分的痴呆者，自然规律要简单，世间万物却要五彩缤纷。在创造世界万物的时候，上帝便充分发挥他的创造力和想象力，否则，“万物之灵”的生命就不会产生了。
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观察我们周围的世界：人的左脸并不完全等同于右脸；大多数人的心脏长在左边，大多数的DNA分子是右旋的；地球并不是一个完全规则的球形。正是因为对称中有了这些不对称的元素，对称与不对称的和谐交汇，创造了我们的世界。
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不妨深究一下，何谓对称？何谓不对称？可以说，对称中有不对称，不对称中又有对称。并且，对称有多种多样，就几何图像而言，具有某种变换下的对称，但对另一种变换便可能不对称。即使是同一类型的对称，也有对称程度的高低。比如说，一个正三角形和一个等腰三角形比较，正三角形应该更为对称一些，如图3-5-1（a）。再举旋转群为例：一个球面是三维旋转对称的，在SO（3）群作用下不变，而椭球面只能看作是在二维旋转群SO（2）的作用下不变了。用不很严格地说法，SO（2）是SO（3）的子群，因此，球面比椭球面具有更多的对称性。如果从对称性的高低等级来定义的话，系统从对称性高的状态，演化到对称性更低的状态，被称为“对称破缺”，反之则可称为“对称建立”。例如，当正三角形变形为等腰三角形，或者当球面变成椭球面，我们便说“对称破缺了”。从李群的观点来看，SO（3）是3阶的，有3个生成元，SO（2）只有1个生成元。从球面到椭球面，2个对称性被破缺。因此，可以从群论的观点来研究对称破缺。
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物质的相变也是一种对称破缺（或提升）。物质三态中，液态比晶体固态具有更高的对称性。液态分子处于完全无序的状态，处处均匀、各向同性。凝固成固态后，分子有次序地排列起来，形成整齐漂亮的晶格结构。因此，从液态到固态，有序程度增加了，而对称性却降低了、破缺了。
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图3-5-1 对称性的不同等级
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物理学家将“对称破缺”分为两大类：明显对称破缺和自发对称破缺。
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明显的对称破缺：系统的拉格朗日量明显违反某种对称性，因而造成物理定律不具备这种对称性。弱相互作用的宇称不守恒，便是属于这一类。
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自发对称破缺又是什么意思呢？它指的是物理系统的拉格朗日量具有某种对称性，但物理系统本身却并不表现出这种对称性。换言之，物理定律仍然是对称的，但物理系统实际上所处的某个状态并不对称。图3-5-2中举了几个日常生活中的例子来说明对称性的“破缺”。
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图3-5-2 自然界的明显对称破缺和自发对称破缺
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图3-5-2（a）中所示是一个在山坡上的石头，山坡造成重力势能的不对称性，使得石头往右边滚动，这是一种明显对称性破缺。在图3-5-2（b）的情况，一支铅笔竖立在桌子上，它所受的力是四面八方都对称的，它往任何一个方向倒下的几率都相等。但是，铅笔最终只会倒向一个方向，这就破坏了它原有的旋转对称性。这种破坏不是由于物理规律或周围环境的不对称造成的，而是铅笔自身不稳定因素诱发的，所以叫“自发对称破缺”。图3-5-2（c）的水滴结晶成某个雪花图案的过程也属于自发对称破缺。
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最早从物理学的角度来探索非对称和对称破缺的，是法国物理学家皮埃尔·居里（著名居里夫人的丈夫）。皮埃尔说：“非对称创造了世界”。后来，皮埃尔发现了物质的居里点。当温度降低到居里点以下，物质表现出自发对称破缺。例如，顺磁体到铁磁体的转变属于这种对称破缺。在居里温度以上，磁体的磁性随着磁场的有无而有无，即表现为顺磁性。外磁场消失后，顺磁体恢复到各向同性，是没有磁性的，因而具有旋转对称性。当温度从居里点降低，磁体成为铁磁体而有可能恢复磁性。如果这时仍然没有外界磁场，铁磁体会随机地选择某一个特定的方向为最后磁化的方向。因此，物体在该方向表现出磁性，使得旋转对称性不再保持。换言之，顺磁体转变为铁磁体的相变，表现为旋转对称性的自发破缺。
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如今看起来，自发对称破缺的道理不难理解，但当初却曾经困惑物理学家多年。自发对称破缺就是说，自然规律具有某种对称性，但服从这个规律的现实情形却不具有这种对称性，因而在实验中没有观察到这种对称性，理论似乎与实验不符合。如用数学语言描述，就是系统的方程具有某种对称性，但方程的某一个解不一定要具有这种对称性。一切现实情况下的实验结果，是系统“自发对称破缺”后的某种特别情形。它们只能表现方程的某一个解，反映的只是物理规律的一小部分侧面。
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继皮埃尔·居里之后，苏联物理学家朗道和金斯堡用对称自发破缺来解释超导。美国物理学家安德森扩展了他们的工作。后来，日裔美国物理学家南部阳一郎（1921— ）首先将“对称破缺”这一概念从凝聚态物理引进到粒子物理学中[23]，[24]。南部为此和另外两位日本物理学家，发现正反物质对称破缺起源的小林诚和益川敏英，分享了2008年的诺贝尔物理学奖。
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凝聚态物理[25]和粒子物理，初看似乎是两个风马牛不相及的两个领域，在研究时所涉及的能量级别上也相差几百亿倍，但它们在本质上却有一个共同之处：研究的都是维数巨大的系统。粒子物理基于量子场论，凝聚态物理研究的是连续多粒子体系。量子系统的维数需要趋于无穷大，是自发对称破缺发生的必要条件。
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自发对称破缺的原因，是因为真空态的简并。我们也可以从上面所说的经典例子来理解这点。比如说图3-5-2（b）所示的铅笔，上图中的铅笔的平衡位置，是一个能量较高的不稳定状态，倒下去之后躺在桌子上的状态能量最低，可以看作是某种稳定的“基态”。因为铅笔可以向任何一个方向倒下，因而基态不止一个，而是有无穷多个。也就是说，铅笔的“基态”是“简并”的，无限多的。就“基态”的整体而言，是和物理规律一样具有旋转对称性，但是铅笔往一边倒下后，便只能处于一个具体的“基态”，那时就没有旋转对称性了。
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