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式（5-2）中，为简单起见，将电子的场函数φ取为标量函数。但实际上，它是代表薛定谔方程（或狄拉克方程）的解，不一定是标量。此外，量子规范变换（式（5-2））与粒子的电荷q有关，物理学家为了方便起见，一般采用一种特别的单位，称之为“自然单位”，其中令约化普朗克常数ℏ和光速c都为1。
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在电子场与电磁场两类规范变换的同时作用下，能使得物理规律保持不变，人们也常常将电子场的相因子变换叫做“第一类规范变换”，电磁势的补偿变换叫做“第二类规范变换”，引入的场A则被称为“规范场”。
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改进后的外尔规范理论，已经不是原来的尺度变换理论，而变成了“相因子变换”理论。它没有了爱因斯坦当年所批评的“钟和尺”不确定的问题，被成功地应用于量子电动力学中，为实验所精确证实。四维矢量势A，也正确地描述了与电子相互作用的电磁场。在量子理论中，电子场φ，或者是波函数φ（x）表示的是电子的几率幅，它的绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率。而复数相位的绝对大小没有物理意义，有意义的只是不同时空点之间的相位差，它影响到几率波的干涉效应。将几率幅乘上一个相因子eiqθ（x），意味着几率幅的相位变化了一个角度qθ（x），对计算几率丝毫没有影响。
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后来，杨振宁将规范场理论推广到比外尔电磁规范更复杂得多的阿贝尔群，并且发现了规范场与数学中的纤维丛理论之间的紧密联系。这种关联的发现，不仅仅把规范场理论置于严格的数学基础上，而且为数学家也展现了一片崭新的广阔天地。
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纤维丛的概念是空间乘积概念的推广。如果来个通俗比喻的话，纤维丛可以顾名思义而直观地理解为一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。用点数学术语的话，铁丝和土地被称为“基空间”，毛线或杂草是纤维。那么，整体便构成了纤维丛。基空间和纤维可以是任意形状的流形，铁丝弯曲成了什么形状？泥土地是平面还是球面？两者结合在一起的方式也可以是非平庸的，比如说像莫比乌斯带那样扭曲了几次，或者是某种卷曲、打结等古怪的样子？有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献[29]。
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规范场理论是纤维丛理论在物理学中的体现，规范场纤维丛的基空间是四维弯曲时空，规范场是纤维或纤维间的联络。
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我们按照图5-1-4，再用纤维丛的观点将规范变换的图像总结一下。经典理论中，每个时空点电磁势A的数值被允许在一定范围内变化，但仍然保持场强不变。想象这些A的数值在时空点上堆成一个高塔，或称为“纤维丛”。电磁势的值在纤维上滑动，经典电子感觉不到这种滑动，如图5-1-4（a）所示。但在量子理论中，电子运动用它的波函数（几率幅）描述，几率幅遵循对称性，可以相差一个任意相因子，在复数平面上旋转而不改变物理规律，见图5-1-4（b）。如果相因子的指数θ是时空的函数θ（x）的情况，便得到图5-1-4（c）。这种情况下，当电磁势A的值在纤维上滑动的同时，电子的场变量θ（x）在复数平面上转圈，两者的总效应能保持物理规律不变。
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图5-1-4 规范场是时空上的纤维丛
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 [:1700970782]
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爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事 2．杨—米尔斯理论
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1949年春天，杨振宁（Chen-Ning Franklin Yang，1922— ）从芝加哥前往普林斯顿高等研究院作研究。之后，创立电磁场规范理论的赫尔曼·外尔从高等研究院退休离开了普林斯顿，杨振宁搬进了外尔的旧居，并成为高等研究院的永久成员。按照戴森的说法，他接替外尔的位置，成为理论物理界的一只领头鸟[12]。
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杨振宁不仅接租了外尔的房子，接替了外尔理论物理界的位置，还将他在规范理论方面的工作作了一个漂亮的推广。
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将我们之前介绍的外尔电磁规范理论回味一下，就会发现，规范场理论的最迷人之处在于它可以仅仅从电子运动的对称性出发，自然地从数学上引入电磁场。上述说法使人迷惑，因为凡是学过初中物理的人都知道，人类对电磁现象的认识是从诸多自然现象开始的。富兰克林的雷电实验、法拉第的电磁感应、麦克斯韦的理论综合，再到赫兹发现电磁波，一个接一个的科学家对电磁相互作用作出了贡献。现在怎么又说，电磁波这种物理现象，可以从与数学有关的电子对称性而“得到”呢？
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别着急，上面说法的大概思路如下。
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首先，不考虑电磁场，只看电子的情形。量子力学中薛定谔方程的解，也就是电子满足的波函数φ，相位是不确定的，可以将整个波函数乘以一个任意的常数相因子eiqθ而得到同样的物理效果，即自由带电粒子的系统具有某种整体规范对称性。从诺特定理可知，某种对称性对应于某种守恒定律，带电粒子波函数的相因子规范对称性对应于电荷q守恒。整体规范不变性表现在系统的拉格朗日量在某种对称变化下不变。例如，自由标量场φ的拉格朗日量形式为：
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￡φ＝（1/2）（∂φ*∂φ）-（1/2）m2（φ*φ）2
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将变换φ→eiqθφ代入上面的拉格朗日量表达式中，很容易看出这个变换将保持拉格朗日量不变，因为复数场乘以其共轭函数使得变换中的相因子互相抵消了。从物理意义上看，波函数φ是电子几率幅，将几率幅乘上一个相因子eiqθ，意味着几率幅的相位整体变化了一个角度qθ，对计算几率丝毫没有影响。因此，如果这个相因子是与时空位置x无关的，即θ是整体不变的常数，便完全不会影响物理规律。使用群论的语言，相因子对称性也就是U（1）群对称。也就是说，系统的拉格朗日量在由U（1）描述的整体规范变换下是不变的。
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具有整体规范对称的系统，是否也能有“局域”规范不变呢？局域的意思是说，相因子中的θ是时空位置的函数（写成θ（x），x表示四维时空坐标）。这时，场的变换相因子不再是一个整体的常数，而是每个时空点都不一样的函数。从以上拉格朗日量表达式可知，第二项仍然保持规范不变，但第一项因为包含了微分的原因便不再是规范不变的了。
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外尔的电磁规范理论解决了这个问题。为了保持电子运动的局域规范不变，外尔引进了一个四维矢量场A，与电子场关联起来，并使得作局域规范变换时，A也相应地变换。也就是说，当电子场变换相因子中的θ（x）是时空的函数时，四维矢量场A（x）也作相应变换的话，就能保证系统的拉格朗日量不变，也就是物理规律不变。
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如果用图5-1-3（b）的有趣而直观的比喻来说，就是外尔给电子e，或是电子场φ，找了一个“女朋友”A（x），两人一起跳舞，同时变换，互相默契、相互作用，遵循变换规律：
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φ→eiqθ（x）φ
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A→A-iq∂θ（x）
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便能保证系统的物理规律不变。并且，出人意料之外的是，由此而添加的规范场A，即外尔为电子场找的女朋友，是物理学家们早就认识熟悉的，她的名字叫做电磁场的四维矢量势。