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从以上的分析过程可见，矢量场A（x）是为了保证电荷守恒的局域对称性，使得带电粒子场的拉格朗日量在对称变换下保持不变而引进的一种数学形式，一开始似乎并没有任何物理意义，我们将它“看作”是电磁势，只是因为它正好和我们已经熟知的电磁作用性质一样。
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电子的女朋友电磁势可以正确地描述电子与电磁势的相互作用，物理学家们就让她正式成为家庭的一员，添加到系统的拉格朗日函数表达式中。因此，电子及电磁场的总系统的拉氏函数包括了3项：
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￡＝￡φ＋￡A＋￡相互作用
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不在这里讨论这个拉氏函数的具体形式，有兴趣读者可以参考文献[30]。
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然后，从拉格朗日表达式￡，可以使用最小作用量原理，应用变分法，推导出系统的运动方程，其中将包括了用四维矢量势A（x）描述的电磁场的麦克斯韦方程组。磁场B和电场E可以从用A（x）表示的四维电磁场张量的分量计算出来。再进一步，诸如库仑定律、法拉第定律这些实验规律都可以被推导出来。所以，以规范变换的观点，电磁场及其规律不是首先作为一个物理实在而引入，却是从系统对称性出发。成为满足与电荷守恒相关的U（1）对称性而导致的一个必然结果。
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以上叙述过程中涉及的电子场φ和电磁场A，都仍然属于经典场，外尔最初的电磁规范理论描述的是两个经典场之间的相互作用。使用量子场论的方法将经典场“二次量子化”之后，便可以推广到电子和光子间的相互作用。但无论如何，基本结论是一致的：电磁场，以及作为电磁相互作用媒介子的光子，都是考虑对称性而得到的自然结果。
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这就是数学之美、理论物理之美。这种美迷住了外尔，也吸引了华裔物理学家杨振宁。
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外尔一生珍爱他工作中的两样东西：规范场和非阿贝尔李群。而这两个领域也正好是年轻的杨振宁兴趣所在。杨振宁到芝加哥后，从泡利的关于规范不变性的综合报告中，更深入地了解到电荷守恒与规范不变之间的深刻联系，杨振宁后来在回忆中将外尔规范场称为当时“理论中的一组美妙的旋律”[31]，并想把这个理论推广到同位旋的相互作用上去。
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同位旋是海森伯为表达质子和中子间的对称性而引入的。如果撇开质子和中子这两种粒子电荷的不同，单就强相互作用而言，它们是完全对称的，可以看作是相同粒子的两种不同状态。
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电荷守恒可以导出电磁相互作用势以及电磁场运动规律，那么从同位旋守恒遵循的对称性，是否可以导出强相互作用的规律呢？杨振宁从芝加哥大学开始，便按照这个思路摸索了好几年，但没有得到满意的结果，具体计算也越来越复杂，似乎难以进行下去。
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不过，这个推广规范场的想法总在杨振宁脑海中挥之不去。直到1953—1954年，杨振宁暂时离开高等研究院，到纽约长岛的布鲁克海文实验室工作一段时期，正好和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。布鲁克海文实验室有当时世界上最大的粒子加速器，世界各地也不断传来好几种介子被陆续发现的消息，这些实验使得这两位物理学家既振奋又雄心勃勃，杨振宁迫切感到需要寻找1个描述粒子间相互作用的有效理论，他对规范理论的思考也有了重大的突破。他和米尔斯认识到描述同位旋对称性的SU（2）是一种“非阿贝尔群”，与外尔的电磁规范理论的对称性U（1）完全不同，需要进行不同的数学运算。比如，将四维电磁矢量势A，推广到杨—米尔斯场的情况时，用B来表示。A是电子场的女朋友，B是杨—米尔斯场的女朋友。因为杨—米尔斯场描述的对象是两个分量的同位旋，与其般配的女朋友B也不是原来的矢量场了，应该是2×2的矩阵场！而矩阵是不对易的，因而，在相应的张量Fμν表达式中需要加上一项对易子，见图5-2-2。
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当杨振宁和米尔斯认识到这点，加上对易子一项后，计算变得简单顺畅起来。如杨振宁在回忆中说：“我们知道我们挖到宝贝了！”[31]。通过两人卓有成效的合作，他们在《物理评论》上接连发表了两篇论文[32]，[33]，提出杨—米尔斯规范场论。
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在寄出文章之前，1954年的2月，杨振宁应邀到普林斯顿研究院作报告，当时正逢泡利在高研院工作一年。当杨在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时，“上帝鞭子”开始发言了：“这个B场对应的质量是多少？”，急得杨振宁一身冷汗，因为这个问题一针见血地点到了他们的“死穴”。之后泡利又问了一遍同样的问题，杨只好支支吾吾地说事情很复杂，泡利听后便冒出一句他常用的妙语：“这是个很不充分的借口。”当时的场景使杨振宁分外尴尬，报告几乎作不下去，幸亏主持人奥本海墨出来打圆场，泡利方才作罢[34]。
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泡利尖锐的评论，说明他当时已经思考过推广规范场到强弱相互作用的问题，并且意识到了规范理论中有一个不那么容易解决的质量难点。
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第二天，杨振宁接到来自泡利的一段信息，为昨天报告会之后没有深谈而遗憾。在信中，泡利还给这两位年轻物理学家的工作致以美好的祝福，并建议杨读读薛定谔的一篇文章。
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那是一篇有关狄拉克电子在引力场时空中运动的相关讨论。不过，直到多年后，杨振宁才明白了其中所述的引力场与杨—米尔斯场在几何上的深刻联系，从而促进他在20世纪70年代研究规范场论与纤维丛理论的对应，将数学和物理的成功结合推进到一个新的水平。
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规范理论中的传播子都是没有质量的，否则便不能保持规范不变。电磁规范场的作用传播子是光子，光子正好本来就没有质量。但是，强相互作用不同于电磁力，电磁力是远程力，强弱相互作用都是短程力，短程力的传播粒子一定有质量，这便是泡利当时所提出的问题。果然是因为这个质量的难题，让规范理论默默等待了20年！
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当年的杨—米尔斯理论虽然没有真正解决强相互作用的问题，但却构造了一个非阿贝尔规范场的模型，为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架。后来的弱电统一、强作用，直到标准模型，都是建立在这个基础上。即使是尚未统一到标准模型中的引力，也完全可以包括进规范场的理论之中。如今，六十多年过去了，“对称支配相互作用”已经成为理论物理学家的一个坚定信念。所以，可以毫不夸张地说：杨—米尔斯规范理论，对现代理论物理起了“奠基”的作用，如图5-2-1所示。
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图5-2-1 杨—米尔斯规范场理论对大统一理论起了“奠基”的作用
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图5-2-2 从电磁规范场到非阿贝尔规范场
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