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其中∆v是t时刻到t+∆t时刻的过程中质点的速度增加量.同样可以理解,用来描述v的变化时,∆t取得越小,描述越是细致.于是,引入瞬时加速度,简称加速度,定义为
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加速度也是矢量,它的方向由a的正、负号确定.某时刻a为正,意味着质点将朝x轴正方向加速.此时,如果v为正,质点朝x轴正方向速度将加快;如果v为负,实际效果则是朝x轴负方向速度将变慢.类似地可以讨论a为负时对应的两种情况,此处从略.在SI单位制中,a的单位是m/s2.
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(1.4)式表明,a是v对t的一阶导数.结合(1.3)式,可得
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即a是x对t的二阶导数.
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如果质点的位置x随时间t的变化关系已经给出,或者说质点的运动方程x=x(t)已经获得,那么通过一阶、二阶导数可以确定质点的速度v、加速度a随时间t的变化关系.这表明,从数学观点来看,质点的运动方程已包括了运动的全部信息.如果a也随t变化,数学上可以再求导数,引出一个譬如称为“加加速度”的量.实际上没有普遍地这样做,原因是质点运动学的后续理论是质点动力学,其中的牛顿定律只涉及加速度,所以运动学主体内容也只介绍到加速度为止.
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运动方程求导可得速度、加速度,反之,加速度积分可得速度,再积分可得运动方程.例如已知质点在t=t0时刻的速度是v0,可据a=dv/dt,导出定积分算式:
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即得
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再设t=t0时刻质点位于x0处,类似地可得
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v,a随t的变化关系,也可分别用速度曲线、加速度曲线直观描述.图1-3(a)给出的是一个小球以9.8m/s初速度从地面向上抛出,直到落地前一瞬间过程中的速度曲线和加速度曲线.图1-3(b)给出的是某质点作简谐振动时的速度曲线和加速度曲线,参量vm是正方向最大振动速度,am是正方向最大振动加速度,T是振动周期.
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图 1-3
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1.2.2 三类直线运动
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直线运动可按加速度为零、常量、变量三种情况,分为匀速、匀加速、变加速三种类型.
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匀速直线运动过程中速度是常量,质点的运动方向和速度大小保持不变.火车在长直轨道上行驶,相当长的一段时间内可作匀速直线运动.小球沿斜面滚落到水平大桌面上,桌面越光滑,小球在桌面上的运动越接近匀速直线运动.雨滴从云层下落,速度从零开始增大,接近某一极限值时,近似可认为不再变化,雨滴便是匀速直线降落.这一极限值称为收尾速度,雨滴越大,收尾速度也越大.收尾速度的存在,使得雨滴不会对人体有伤害.
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匀加速直线运动过程中加速度是常量,记作
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