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质点的速度便可表述成
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进而可得加速度
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其中第一项正是a切，第二项便是a心，即有
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可以看出，借助矢量工具处理质点圆周运动，显得更加简洁．需要注意，此处只涉及质点在一个给定圆周上的运动，不存在不同方向ω的叠加问题，因此这里关于ω矢量性的讨论是有欠缺的．
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除了直线和圆轨道，还有其他各种类型的平面曲线轨道．这里先讨论光滑平面曲线轨道，或者分段光滑的平面曲线轨道．光滑并非指物理上没有摩擦的光滑，而是指几何或者说数学上的光滑．用数学分析语言来表述，则是处处连续、可导，而且导数也处处连续．在直观图像方面，光滑曲线没有断处，也没有突然的转折．任意一段光滑平面曲线可以分解为一系列无穷小的曲线段．为测量曲线的长度，无穷小曲线段可逼近地处理成无穷小直线段．这样的逼近，使曲线原有的整体弯曲特征全部丢失．为表现弯曲性，可将无穷小曲线段进一步逼近处理成无穷小圆弧段．平面曲线某处无穷小圆弧属于相应的某个圆，此圆称为曲线在该处的曲率圆，圆半径称为曲率半径，常记为ρ．平面曲线各处ρ一般不相同，ρ小处的弯曲程度高，ρ大处的弯曲程度低．例如图1-15所示平面曲线，在Q2处的ρ2小于在Q1处的ρ1，表现着Q2处比Q1处的弯曲程度高．
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图 1-15
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约束在光滑平面曲线轨道中的质点运动，可相应地分解成一系列无穷小圆弧段运动．任意时刻t，以质点P所在位置为原点，沿着该时刻速度v的方向设置切向方向矢量τ，对着该处曲率圆圆心的方向设置法向方向矢量n，如图1-16所示，这样的坐标系称为自然坐标系（或称为本性坐标系）．自然坐标系两个正交基矢τ，n的方向，随着质点的运动而改变．t时刻质点的加速度a可分解成
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图 1-16
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法向加速度an对应圆运动的向心加速度，切向加速度aτ与圆运动的切向加速度自然一致．an起着改变运动方向的作用，它的大小为
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其中ρ是曲率半径．aτ沿τ方向的投影式为
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aτ取正时，aτ与τ的方向或者说与v的方向一致，质点运动速度有增大趋势；aτ取负时，aτ与v反向，速度有减小趋势．aτ若处处为零，v的大小恒定，对应的运动称为匀速曲线运动．
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显然，质点在无轨道约束下所作的平面曲线运动也可分解成一系列无穷小圆弧段运动，在自然坐标系中将加速度分解为法向和切向两个分量，分别描述运动方向和快慢的变化．区别在于，无轨道约束时运动曲线及ρ的分布都是待定的，有轨道约束时两者都是给定的．
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例6 如图1-17所示，质点P于t＝0时刻从θ＝0角位置开始，逆时针方向沿半径为R的圆周运动．P在x轴上的分运动，在第Ⅰ，Ⅲ象限内是匀加速运动，在第Ⅱ，Ⅳ象限是匀减速运动，加速度大小相同．已知圆运动周期为T，试求在第一个周期圆运动角速度ω、角加速度β和向心加速度大小a心各自随t的变化关系．
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