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1-37 惠更斯等时摆．
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半径R的轮子在水平直线MN上方纯滚动，轮子边缘上任意点P的运动轨迹不妨称为上滚轮线．如图1-52所示，将上滚轮线绕MN向下翻转180°，成为下滚轮线．下滚轮线也可看成R轮子在下方沿直线MN纯滚动时轮子边缘点P的运动轨迹．
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图 1-52（题1-37）
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沿下滚轮线设置光滑轨道，小球在轨道内侧除最低点外任意一处从静止自由滑下，可形成周期性的往返运动（摆动），惠更斯已证得摆动周期T与小球初始位置无关，后人将此种摆称为惠更斯等时摆．试在认知等时性前提下，求出以R为参量的T算式．
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力学（物理类） [:1700973448]
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力学（物理类） 2 牛顿定律 动量定理
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力学（物理类） [:1700973449]
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2.1 牛顿定律
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2.1.1 概述
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视觉是人类感知自然界的一个重要窗口，目光所及，随处都有物体的运动，认知运动的各种形式，解释其中的原因，也就成了古代哲人思辨性研究的一个课题．伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）在他的著作《两门新科学》中概括性地说过：“在自然界中最古老的课题莫过于运动了．”
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古希腊学者已认识到运动不仅有表观的形式，而且还有内在的原因，按现代的分类，前者属于运动学范畴，后者属于动力学范畴．在表观形式方面，亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）注意到了天空中日月星辰围绕地心的圆周运动，地面上落体的加速直线运动，物体沿水平地面的平面运动和斜抛物体的曲线运动．于内在原因方面，他把运动分为自然的（natural）和强迫的（violent）两种，前一种运动系物体本性所致，后一种运动因外力作用形成．物体或在天空中，或在地面上．天空中的物体均由“以太”（ether）构成，其本性致使它们围绕地球中心作圆周运动，这是一类自然运动．地面上的物体由土、水、气、火四种元素组成，元素各有自然位置，从下到上的次序是土（地面下方）、水（地面）、气（地面上方）、火（地面上方最高处）．每种元素都有回归其自然位置的运动趋势，综合形成轻物上升、重物下落的运动便是另一类自然运动．物体越重，含土量越高，下落得越快．外力的持续推动，可迫使地上物体作非自然的运动，外力消失，这种强迫运动也就停止．在推力或拉力作用下，物体沿地面的水平运动是强迫运动，借助手的推力促成的抛体运动也属强迫运动．
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现在看来，亚里士多德的理论基本上是不正确的．例如，不是天空中的太阳绕地球运动，而是地球在绕太阳运动；月球绕地球的圆运动、落体的加速直线运动，并不是没有外力作用的“自然运动”，而是万有引力支配下的变速运动；物体沿水平地面运动会受到摩擦力，施加的推力或拉力克服了这一阻力，方能使物体持续运动．人类早期认识中，难以悟及天体运动的相对性，难以觉察出身体感受之外力的存在．历史评估，于当时，亚里士多德运动论确实合理地反映了粗糙的原始经验，故为世人所接受．值得一提的是亚里士多德前后的两位学者，德谟克利特（Democritus，公元前460—前370），伊壁鸠鲁（Epicurus，公元前341—前270）认为，组成物体的最小单元——原子，在虚空中如果不发生碰撞，必定作匀速直线运动．原子论先驱者的观念显然更简单地接近真理，但在当时实属无法感受的纯理性猜测，不易被众人认可．
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亚里士多德的运动论直到16世纪才开始真正受到冲击，哥白尼（Copernicus，1473—1543）提出日心说，宣称是地球在绕着太阳旋转．接着，开普勒（J. Kepler，1571—1630）又在第谷（Tycko Brahe，1546—1601）大量的观察数据基础上，分析和总结出了行星绕日运动的三定律．对于地面上物体的运动，伽利略结合科学思维与实验观测，对亚里士多德的理论进行了认真而又深刻的批判．在《关于两门新科学的对话与数学证明对话集》一书中，伽利略思辨地批驳了“物体越重，下落越快”的观念．在亚里士多德的落体自然运动中不存在空气阻力，伽利略便合理地假设：“取两个自然速率不同的物体，把两者连在一起，快者将被慢者拖慢，慢者将被快者拖快．”相信已取得读者赞同后，接着举例，若“大石头以8的速率运动，而小石头以4的速率运动，两块石头在一起时，系统将以小于8的速率运动”．然而，“两块石头栓在一起变得比原先速率为8的石头更重”，可见“物体越重，下落得越快”一说显然有误．伽利略还设计出了著名的斜面实验，令人信服地推证，倘若表面理想光滑，从斜槽滚下去的黄铜球必定会沿水平放置的长板永远滚动过去．这意味着，如果没有阻力作用，黄铜球将保持匀速直线运动状态．伽利略的斜面实验与古代原子论者的虚空中原子匀速直线运动猜测，无疑是牛顿建立其惯性规律的重要基础．
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伽利略之后，笛卡儿（R. Descartes，1596—1650），惠更斯（C. Huygens，1629—1695），胡克（R. Hooke，1635—1703）等学者继续在动力学方面作了大量的探索性工作．牛顿（I. Newton，1642—1727）更是开创性地将天体的运动与地面上物体的运动综合在一起进行研究，归纳出统一的动力学规律，发现了世间万物共有的一类相互作用．牛顿在1687年发表的传世之作《自然哲学的数学原理》中，将这两方面的成果分别总结成运动三定律和万有引力定律介绍给世人，标志着近代科学开始成形的经典力学从此诞生．
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牛顿将所有物体运动的表观形式，归因于物体的惯性和所受的外界作用力．无外界作用力时，物体因惯性而保持静止或匀速直线运动状态．将物体的惯性量化为质量，用质量与速度的乘积（即动量）来表征运动，牛顿指出，在非零外力作用下，物体的这一乘积量将随时间发生变化，前者就等于后者随时间的变化率．牛顿认为物体所受的力来自其他物体，物体间的作用力是相互的，而且是对称的．在相互作用力的具体内容方面，牛顿发现使地面上物体下落的力和支配月球绕地球运行的力，乃至促成地球及其他行星围绕太阳沿椭圆轨道运行的力，是自然界一切物体间同有的一种相互作用力，即万有引力．
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本书阐述的经典力学内容，如前所述，分为运动学与动力学两部分，运动学描述物体的运动，动力学研究物体运动的原因．运动学中将物体或物体的某个小部位模型化为质点，基本内容便是描述质点的运动．动力学也同样处理，首先是质点的动力学内容，然后演绎成质点系的动力学内容．一个物体若不能模型化为质点，便将它分解成无穷多个小点部位——质点，这就是数学的微分处理，再将这无穷多个无穷小点部位的动力学内容叠加成原物体的动力学内容，又是数学中的积分处理．微积分正是由牛顿与莱布尼兹（G. W. Leibniz，1646—1716）等学者在那个时代创建的，从中可以理解到物理与数学间的密切关系．动力学的基础不涉及相互作用具体内容，故不包括牛顿万有引力定律．动力学基本规律只有三条，即牛顿运动三定津，简称牛顿定律．牛顿定律中作用于质点的力，与质点运动的时空因素结合，构成力作用的时间累积量——冲量，和力作用的空间累积量——功．由此演绎出质点冲量—动量关系、质点系冲量—动量关系和质点功—动能关系、质点系功—动能关系．空间是三维双向的，质点始、末位置确定后可有不同的运动路线，作功与路线选取无关的力格外受到关注，由此引发出保守力、势能、机械能观念的建立．应当指出：不能由牛顿定律从逻辑上判定保守力一定存在或一定不存在，即自然界中保守力的存在性是独立于牛顿定律之外的；反之，自然界中保守力存在与否也不影响牛顿定律的正确性．空间是三维的，力作用下的质点相对某参考点有空间转动效果，这方面内容的展开便构成质点力矩—角动量关系、质点系力矩—角动量关系．以牛顿定律和定律在上述三方面（冲量—动量、功—能、力矩—角动量）的展开为框架，本书阐述的经典力学内容讨论和解决了各种具体系统的力学问题．简单的如斜面有阻力滑块问题、碰撞问题、行星绕日运动问题等，较复杂的如刚体、流体问题、振动与波问题等．
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逻辑上看，万有引力与电作用力是平行的．但电作用力的研究因内涵丰富而单独成一门学科；牛顿万有引力理论却因形式简洁而取为应用实例仍容纳于力学教程之中．至于爱因斯坦的引力理论，作为一门近代新学科，它已超越了经典力学的范畴．
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2.1.2 牛顿定律
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关于牛顿定律，首先据《自然哲学的数学原理》（中译本）给出原始表述，接着按现代的理解对其内涵作若干解释性的说明．
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牛顿第一定律 任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动的状态，除非作用于它的力迫使它改变这种状态．
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第一定律平行地给出了惯性和力这两个概念，惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内在属性，力是迫使物体改变这种状态的外加因素．第一定律又从逻辑上定义了一类特殊的参考系．运动是相对参考系而言的，第一定律之所以能称为定律，至少应存在一个参考系S0，定律内容在S0中是正确的．不受外力作用的物体，在S0系中加速度为零，由运动学知识可知，该物体在所有相对S0系作匀速平动的参考系Si中的加速度均为零，第一定律在各Si系中便都成立．另外，相对于S0或任一Si系作变速平动或（匀速，变速）转动的参考系S′i，该物体加速度必不为零，不能保持静止或匀速直线运动状态，第一定律在S′i系中不能成立．称第一定律成立的参考系为惯性参考系，简称惯性系，称第一定律不成立的参考系为非惯性参考系，简称非惯性系．第一定律的成立表明，经典力学认定自然界中存在惯性系，也存在非惯性系．大量实验表明，对于地面上宏观物体的一般运动，地面参考系是一个足够精确的惯性系．
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如前所述，从基础性和简洁性方面考察，动力学的原始研究对象可取为质点，牛顿定律首先是质点动力学的基本规律，演绎后可进而处理不可模型化为质点的物体．第一定律表述中的物体解释成质点后，便不必在定律内补充无外力作用下真实物体在惯性系中可保持的匀速转动状态，因为物体模型化为质点，便失去体结构，不会出现转动状态．
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第一定律虽然已给出了惯性和力这两个概念，但尚未对其进行量化．