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例10 以A为半长轴、B为半短轴的椭圆中，长轴顶点处的曲率半径为，试求短轴顶点处的曲率半径ρB．
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解 曲线的代数方程与曲线的曲率半径分布间有因果关系，椭圆方程
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对于变换
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具有对称性，曲率半径分布也应具有此种变换对称性，即有
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例11 光滑水平面上有四个相同的匀质光滑小球，其中球2，3，4静置于图4-26所示位置，球1具有图示方向速度．设小球间将发生的碰撞都是弹性的，试问最后这四个球中的哪一个球将停下？
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图 4-26
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解 球1与2碰后，球1停下，球2朝前运动与球3，4发生图4-27所示碰撞．系统的碰撞状态（因）在图平面中相对虚线所示方位线具有“上下”对称性，碰后系统速度分布（果）也应具有此种对称性．设球2碰前速度为v0，球2，3，4碰后速度分布已在示出，将各球质量记为m，则有
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图 4-27
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解得
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球2将返回与球1相碰，碰后球2停下．
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例12 如图4-28所示，匀质圆平板放在水平桌面上，圆板绕着过中心的竖直轴旋转，中心沿桌面运动．如果圆板与桌面间的摩擦因数处处相同，试证圆板所受合摩擦力必无与圆板中心运动方向垂直的分量．
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图 4-28
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证 参考图4-29，其中板1为题文所给圆板，将所受合摩擦力分解为图示的两个分量F∥与F⊥．板2的运动状态（因）与板1的运动状态（因）互成镜面对称，它们所受的合摩擦力（果）也必定互成镜面对称，故板2合摩擦力的两个分量方向如图所示．板3的运动状态与板2的运动状态互成时间反演关系，对应部位速度反向，合力也反向，板3合摩擦力两个分量也已在图中示出．