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图 4-29
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最后，板3的运动状态与板1的运动状态一致，这又要求板3合摩擦力与板1合摩擦力同构，因此必有F⊥＝0．
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4.2.3 对称性与守恒律
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牛顿力学中，无外力作用时质点系的动量守恒，与第三定律中作用力、反作用力大小相等方向相反方面显示的对称有关；角动量守恒，与作用力、反作用力在连心线方面显示的对称有关．第三定律并不限定质点间的一对作用力具有保守性；无外力作用时质点系的机械能可以守恒，也可以不守恒．如果在第三定律之外，认定真实世界中所有的作用力、反作用力都是保守性的，那么无外力作用时质点系的机械能守恒便成必然．一对保守性的作用力、反作用力作功之和仅由两个质点间的相对位置变化所确定，这意味着力仅与质点间的相对位置有关，而且力不会随时间变化．牛顿万有引力定律与库仑定律中的常量G，k不随时间变化，使得牛顿万有引力和库仑力都具有时间不变性．可以设想，如果G，k是时间的函数，那么万有引力势能和库仑势能都将随时间变化，地面上物体的重力势能便会时大时小，电子绕氢原子核运动的轨道能量也不再守恒．用对称性语言表述，保守力不随时间变化，也就是保守力具有时间平移对称性．于是可以说，机械能守恒与相互作用力的时间平移对称性有关．
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对称性与守恒律之间存在的普遍关联，由德国数学家诺特（E. Neother）于1918年进行了严格的论证．据此，真实世界中物质系统具有的每一种对称性，都对应有一条守恒律．将讨论的对象从宏观深入到微观，发现用能量表述物质系统的动力学性质更接近自然界的本质．（经典力学中以能量取代力作为第一基本量来展开动力学结构的工作，很早便由拉格朗日（Langrange）、哈密顿（Hamilton）等学者完成，由此构成的动力学体系称为分析力学，其内容将在后续的理论力学中述及．）从微观考察不存在耗散性的相互作用，质点间相互作用的力学性质可用势能表述．对于不受外作用的物质系统，假设内相互作用在时空变换方面具有时间平移对称性、空间平移对称性和点转动对称性，那么与其中任何一对内相互作用相应的势能也具有这三种对称性，它们将分别对应物质系统的能量、动量和角动量守恒律．
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势能的时间平移对称性，意味着系统内势能与动能之和不随时间变化，这就是能量守恒律．取一对微观质点P1和P2，用牛顿力学语言表述，其间有一对作用力和反作用力F1和F2．将P1和P2一起平移dl，如图4-30所示，其间势能Ep的增量为
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图 4-30
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势能的空间平移对称性要求
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与牛顿第三定律所述“大小相同，方向相反”一致．仿照牛顿力学中的推演，可知系统动量不变，即为动量守恒律．再将这一对微观质点绕着P1所在空间位置转过任意小角度，P2有位移dl2，如图4-31所示．势能的转动对称性要求
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图 4-31
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可见F2必为径向力，同理F1也为径向力，这正是牛顿第三定律所述“连心线”上的相互作用力，即得角动量守恒律．
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力学（物理类） 4.3 天体运动
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4.3.1 天体运动
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太阳系中的太阳是质量最大的天体，它的周围有许多运动着的行星，大行星周围还有运动着的卫星．这些天体之间都有万有引力相互作用，形成一个庞大的多体引力系统．法国数学家庞加莱（H. Poincaré）指出，即使只取三个彼此仅有万有引力相互作用的质点构成的系统，在给定的初始位置和初始速度分布的条件下，理论上也不能获得甚至降至积分形式的解析解．太阳系中的天体尽管众多，但各大行星受其他天体的引力远弱于受太阳的引力，它们的运动几乎由太阳引力支配．小行星除非在运动过程中偶尔靠近大行星或其他天体，其余时间的运动几乎也由太阳引力支配．卫星距大行星很近，围绕着行星的运动主要受行星引力支配．于是，行星围绕太阳的运动，卫星围绕行星的运动，都可简化成两体引力系统的问题来获得解决．两个天体常模型化成两个质点，其中一个质点（例如太阳）的质量远大于另一个质点时，可以略去它的运动，在某一太空惯性系中近似处理成不动的质点，在这一惯性系中可讨论另一个质点（例如行星）的运动．