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图 4-33
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导出A和C表述式后，可得椭圆偏心率
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即有
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ε＝0时，为圆轨道．
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各大行星轨道偏心率如下：
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水星 0.206 金星 0.007 地球 0.017 火星 0.098 木星 0.048 土星 0.055 天王星 0.051 海王星 0.007 冥王星 0.252 除了水星、火星和冥王星外，其他行星轨道偏心率都接近于零，轨道几乎都是圆形的．水星非常靠近太阳，从地面上难以观察，冥王星迟至1930年才被发现．火星轨道偏心率也不足0.1，因此希腊天文学家托勒密（Ptolemeus）在公元2世纪认为行星轨道都是圆形的．直到16世纪，第谷对木星的运动作了精确细致的观察，积累的丰富数据资料促成了开普勒摆脱托勒密圆轨道的束缚，确认大行星的轨道都是椭圆形的．小行星有可能受其他行星引力作用加速，当能量E≥0时，便进入抛物线或双曲线轨道，最终离开太阳系．
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行星无论取哪一种轨道，相对太阳的角动量都是守恒的，对于大行星的椭圆轨道，这正是开普勒第二定律的内容．椭圆轨道是闭合曲线，算得大行星角动量L，可得面积速度
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椭圆面积S＝πAB，大行星的轨道周期为
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由此可导得开普勒第三定律（见本章例14）．
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上面的讨论适用于所有两体引力系统，例如行星、卫星系统，地球与地面上方某物体构成的系统．所得的三种曲线在极限情况下，可退化成直线段或射线．椭圆半短轴趋于零时，退化成直线段，地面上自由落体的轨道便是一例．抛物线、双曲线都可退化成射线，从地面竖直向上以第二宇宙速度或以更大速度发射的太空飞行器，相对地心的运动轨道便是这样的射线．
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库仑力与万有引力的数学结构相同，令kQq替换掉-GMm，上面的讨论便适用于由两个带电质点构成的两体库仑力系统．Q与q异号时，库仑力为吸引力，若电量为Q的质点近似不动，电量为q的质点的运动轨道也是如（4.14）式表述的三种圆锥曲线，例如电子绕氢核运动轨道便是椭圆（包括圆）．Q和q同号时，库仑力为斥力，恒有E≥0，轨道是抛物线或双曲线，例如α粒子的散射轨道便是双曲线．
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两体引力系统中，质点M所受引力对它的运动影响不可忽略时，可以采用约化质量的方法讨论质点m相对于质点M的运动轨道（详见本章例18）．
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例13 第一、第二、第三宇宙速度．
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略去地球大气层的影响，已知地球半径RE＝6.37×106m，地球轨道半径r＝1.50×1011m，太阳质量Ms＝1.99×1030kg．
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（1）在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道运动的飞行器速度v1，称为第一宇宙速度，试求之；
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（2）从地面向上发射太空飞行器，为使它能远离地球而去的最小发射速度v2，称为第二宇宙速度，试求之；
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（3）从地面向上发射太空飞行器，为使它能相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太阳系而去的最小发射速度v3，称为第三宇宙速度，试求之．
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解 （1）飞行器质量记为m，由可得
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