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例18 由太阳与某个行星构成的两体引力系统，若考虑到引力对太阳运动的影响，开普勒三定律应作哪些修正？
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解 假设太阳不动时，将万有引力定律与牛顿第二定律导得的行星运动角动量、机械能守恒性相结合，可导出开普勒三定律．如果引力对太阳运动的影响不被略去，那么需采用第2章例7所述两体约化质量的方法来讨论行星相对太阳的运动，此时的动力学方程（相当惯性系中的牛顿第二定律）为
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其中m和M分别为行星和太阳的惯性质量．Fm是行星受太阳的引力，有
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式中Mg和mg分别为太阳和行星的引力质量．考虑到Mg＝M，mg＝m，可将动力学方程改述成
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相当于在行星惯性质量依旧的惯性系中牛顿第二定律式与修正的万有引力式之组合，后者将太阳原有的引力质量M替换成M＋m．于是可沿用原有的推导及其结果，例如仿（4.13）和（4.14）式，现有
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行星轨道仍是圆锥曲线，只是将曲线参量p，ε中原有的太阳引力质量M替换成M＋m．开普勒第一、第二定律不受此项替换的影响，因此仍然成立．
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本章例14给出了太阳不动时的椭圆轨道周期为，新的轨道周期需要修正为
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于是得
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可见开普勒第三定律严格意义下不再成立，其间偏差系数为m／M．以行星中质量最大的木星为例，m＝M／1047.35，得m／M＝9.55×10-4．确实小到可以略去．
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4.3.2 有心力场中质点的运动
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行星受太阳的万有引力为有心力，有心力是指始终指向或背离某一固定点的力，这一固定点称为力心．存在有心力的空间称为有心力场．以力心为坐标原点，在有心力场中质点所受力可表述成
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通常将讨论的范围限制在f与r方向无关而仅由它的大小r确定，即有
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有心力场中，质点初速度沿径向或为零时，运动轨道是直线．对于（4.15）式中吸引性有心力场，当质量为m的质点在r处速度沿角向，大小满足关系式：