1700980065
1700980066
1700980067
1700980068
1700980069
图 4-38 α＝1
1700980070
1700980071
α＝-2的有心力如万有引力和库仑力，取无穷远为势能零点，有
1700980072
1700980073
1700980074
1700980075
1700980076
势能曲线如图4-39所示．与α＝1类似，Vequ（r）先随r减小，后随r增大，极小值Emin对应的r0也已在图中示出．E＝Emin时，轨道是半径为r0的圆，E＝E-（Emin＜E-＜0）时，对应的轨道是r1≤r≤r2的椭圆．（需要注意，不同的L对应不同的势能曲线，L1对应的某个E-，可能等于L2对应的Emin．）E＝E0＝0时，质点可在r≥r3的范围运动，r→∞时，vr→0，轨道是无限曲线，与万有引力情况相同，为抛物线．E＝E+＞0时，质点可在r≥r4的范围运动，r→∞时，vr＞0，轨道也是无限曲线，实为双曲线．
1700980077
1700980078
1700980079
1700980080
1700980081
图 4-39 α＝-2
1700980082
1700980083
α＝-3的有心力，取无穷远为势能零点，有
1700980084
1700980085
1700980086
1700980087
1700980088
1700980089
1700980090
1700980091
1700980092
1700980093
1700980094
1700980095
1700980096
对应的曲线和对应的曲线如图4-40所示，前者随r单调下降，后者随r单调上升．对于，必有E+＞0，质点可沿r≥r+无限轨道运动，对，E-可取任意值．取图示E-＜0值时，质点可沿r≤r-螺旋轨道运动，最终“掉入”力心．若E-≥0，质点也可沿某无限轨道运动，远离力心而去．余下，对应．在这一势能直线上任何一个r位置处，只要E＝0，便有vr＝0，vθ则满足
1700980097
1700980098
1700980099
1700980100
1700980101
1700980102
1700980103
1700980104
图 4-40 α＝-3
1700980105
1700980106
质点作半径为r的圆运动．
1700980107
1700980108
α＝-4的有心力，取无穷远为势能零点，有
1700980109
1700980110
1700980111
1700980112
1700980113
势能曲线如图4-41所示，Vequ（r）先随r增大，达极大值Emax后，又随r减小．Emax对应的r0已在图中示出，E＝Emax时，若恰好位于r＝r0，则质点可作圆运动，不难验证圆运动向心力等于f（r0）．极大值处的圆运动是不稳定的，稍有径向扰动，便会沿扰动方向获得增大的径向速度，最终或“掉入”力心，或远离力心而去．具有能量E＜Emax的质点，若处于图中r1位置，而后便会向左偏移，“掉入”力心；若处于图中r2位置，而后便会向右偏移，远离力心而去．总之，质点不会在r1≤r≤r2之间往返运动．
1700980114