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（3）试证
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（4）导出极坐标系中的行星轨道方程．
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4-31 质量为M的宇航站和质量为m的飞船对接后，一起沿半径为nR的圆形轨道绕地球运动，这里的n＝1.25，R为地球的半径．而后飞船又从宇航站沿运动方向发射出去，并沿某椭圆轨道飞行，其最远点到地心的距离为8nR，宇航站的飞行轨道也变成一椭圆．如果飞船绕地球运行一周后恰好与宇航站相遇，则质量比m／M应为何值？
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4-32 如图4-59所示，质量m＝1.20×104kg的飞船在距月球表面高度h＝100km处绕月球作圆运动．飞船采用两种登月方式：（1）在A点向前短时间喷气，使飞船与月球相切地到达月球上的B点；（2）在A点向外侧沿月球半径短时间喷气，使飞船与月球相切地到达月球上的C点．设喷气相对原飞船的速度为u＝1.00×104m/s．已知月球半径R＝1700km，月球表面重力加速度g＝1.700m/s2．试求两种登月方式各需要的燃料质量．
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图 4-59（题4-32）
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4-33 一质量为m的行星绕质量为M的恒星运动，设在以恒星为球心的球形大空间范围内均匀地分布着稀薄的宇宙尘埃，尘埃的密度ρ很小，可以略去行星与尘埃之间的直接碰撞作用．
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（1）试问，对于角动量为L的圆形行星轨道，其半径r0应满足什么方程（列出方程即可，不必求解）？
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（2）考虑对上述圆轨道稍有偏离的另一轨道，试解释它是一条作进动的椭圆轨道，进动方向与行星运行方向相反，并求出进动角速度（用r0表述）．
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力学（物理类） [:1700973467]
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力学（物理类） 5 质心 刚体
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力学（物理类） [:1700973468]
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5.1 质 心
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5.1.1 质点系与刚体
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质点系的力学基本问题是已知质点系的初始运动状态，即某时刻各质点的位矢ri（0）和速度vi（0），以及质点系的内力和外力分布，即各质点所受内力Fi内和外力Fi外的时空分布，要求解出质点系而后的运动状态，即各质点的位矢随时间的变化ri＝ri（t）．原则上这一问题是可解的，因为牛顿第二定律可为每一个质点列出一个动力学方程，方程个数与所求量个数相同．实际求解却因为系统的多体性、力的位矢关联性以及力的非线性，而变得非常困难．一般的质点系各个质点都可以在空间自由运动，包含的质点越多，待解的位矢越多，方程组也越加庞大，这就是多体性的困难．相互作用力常与质点间相对位置相关，例如三质点引力系的动力学方程组为
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各质点所受引力不仅与自己的位矢有关，还与其他质点位矢有关．相关交叉给数学上的变量分离设置了障碍，这就是力的位矢关联性困难．如果力与位矢的关联是线性的，动力学方程组便是线性方程组，较易求解（见本章例8）．宏观世界中诸多力，如上述的万有引力，与位矢关联不是线性的，即使少至三个质点构成的引力系统，都无法获得由积分表达式给出的解析解，这就是力的非线性困难．
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刚体是其中任何两个点部位间距都恒定不变的质点系，或者说是刚性质点系．刚体中若是三个不共线的点部位A1，A2，A3的位矢确定，其他点部位均被这三点“抓住”，位置随即确定，质点系的多体性困难在刚体中基本消失．A1，A2，A3三位矢含9个空间坐标量：（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），它们满足两两间距不变的约束方程：
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可见只有6个是独立的，或者说刚体的运动自由度降为6．刚体中任选一个点部位C，刚体的真实运动可分解成整体随C点的平动和整体绕C点的转动．C点的运动有3个自由度，刚体的平动也因此有3个自由度．建立随C点平动的参考系，在此参考系中刚体绕C点的转动即为刚体的定点转动，有3个自由度．刚体运动的相关内容，已在1.4.2节中较详细地介绍过，不再细述．
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从运动学考虑，刚体中任一点部位都可选作平动参考点C．将C点处理为质点，从动力学考虑，为了确定刚体随质点C的平动，必须求解位矢rC随时间t的变化关系，这就需要首先给出质点C所受的全部内力与外力．一般情况下，内力结构复杂，外力分布相对比较清楚．值得考虑的是刚体中是否存在一个点部位C，它的运动与内力无关，而是由运动的初始状态和外力所确定？这样的点部位是存在的，它就是质点系的质心C．
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取质心C为参考点，刚体的平动便与内力无关．刚体绕C点的转动问题，可以通过功—能关系和力矩—角动量关系获解．由于任何两个点部位间距不变，刚体内力作功之和为零．力矩方面，内力相对于任何一个参考点的力矩之和也是为零．于是刚体作为一个特殊的质点系，无论内力与点部位间相对位置有什么样的关系，都可以避开其结构来求解刚体的运动问题．
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