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图 5-51
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因rj，ri不平行，其间矢积不为零，故仍得
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Pi，Pj是任取的，这就表明定点转动时刚体中所有点部位转动角速度可以是一致的，记作（5.22）式中的ω（t）．
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刚体中t时刻过O点且与ω（t）平行的直线部位OM，即为该时刻刚体中的瞬时转轴．定点转动时刚体不可同时有两个瞬时转轴，否则刚体将处于静止状态，这就限定了（5.22）式中的ω（t）是唯一的．瞬时转轴可在刚体的真实体内，也可在真实体外，或者说在刚体的延伸体中．在图1-27中的陀螺，若无章动，t时刻的自转与进动如图5-52所示．需要将刚体中的瞬时转轴OM与OM在外参考系占据的几何线区分开，ω（t）随t而变，瞬时转轴在刚体中占据的线部位和在外参考系中占据的线部位都将随t而变．如果图5-52中陀螺的自转和进动都是稳定的，瞬时转轴在刚体中占据的线部位将在刚体内扫过一个图中用虚线示意的圆锥面，瞬时转轴在外参考系占据的几何线将扫过另一个用虚线示意的圆锥面．
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图 5-52
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t时刻刚体瞬时转轴上所有点部位的速度都为零，但是除了定点外，这些点部位的加速度未必为零，t时刻整个刚体各处的速度分布相当于刚体相对于瞬时转轴的速度分布，各处的加速度分布不同于刚体相对于瞬时转轴的加速度分布．
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刚体作定轴转动时，角速度ω或者沿着固定轴的正方向，或者沿着固定轴的反方向．定点转动时，ω方向不再限于一个固定轴上，而是可取三维空间的各个方向，三维空间矢量不仅有方向性，而且还应具有依据平行四边形法则进行的可叠加性．定点转动下的角速度ω能否成为空间矢量，是需要论证的．角速度定义为单位时间的角位移，讨论应从角位移开始．
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原始的角位移是指绕着某一条直线轴逆时针或顺时针转过的平面角Δθ，是一个可带正负号的标量．刚体绕着O点转动时，每一个点部位都在自己相应的一个球面上运动．为方便，取球形刚体，在外参考系中设置以球心O为原点的直角坐标框架，考察球面与z轴交点P的运动．先设球体绕x轴逆时针转过有限角位移Δθx＝π／4，再绕y轴逆时针转过Δθy＝π／4，合成效果是P的初位矢r0经r1移动到r12，P点经P1到达图5-53中的P12处．交换转动顺序，即先取Δθy＝π／4，后取Δθx＝π／4，合成效果是r0经r2移动到r21，P点经P2到达P21处．通过赋予相应方向，将有限角位移Δθx，Δθy分别改造成有方向的量
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图 5-53
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如果它们确是空间矢量，至少要求按平行四边形法则合成的
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是唯一的，P点按Δθ转动的结果必定也是唯一的，且与先Δθx后Δθy或先Δθy后Δθx的转动结果都一致．图5-53中P12，P21明显分离，不能符合这一要求．这就表明，刚体定点转动中有限角位移不可通过赋予其方向，构成三维空间矢量．从P点的运动效果考察，P12与P21之所以不重合，是因为P点在球面上运动，不是在平面上运动．有限角位移让P点运动的球面性得到表现，结果是P12与P21分离．
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据上述讨论得到启发，参照图5-53，Δθx，Δθy取得越小，P1和P12，P2和P21越是靠近P点，当Δθx，Δθy取为无穷小量，可改记成dθx，dθy时，P1和P12，P2和P21均在过P点的切平面σ上，四个无穷小位移矢量
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也都在此切平面上，且有