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1700982491 刚体作定轴转动时，角速度ω或者沿着固定轴的正方向，或者沿着固定轴的反方向．定点转动时，ω方向不再限于一个固定轴上，而是可取三维空间的各个方向，三维空间矢量不仅有方向性，而且还应具有依据平行四边形法则进行的可叠加性．定点转动下的角速度ω能否成为空间矢量，是需要论证的．角速度定义为单位时间的角位移，讨论应从角位移开始．

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1700982493 原始的角位移是指绕着某一条直线轴逆时针或顺时针转过的平面角Δθ，是一个可带正负号的标量．刚体绕着O点转动时，每一个点部位都在自己相应的一个球面上运动．为方便，取球形刚体，在外参考系中设置以球心O为原点的直角坐标框架，考察球面与z轴交点P的运动．先设球体绕x轴逆时针转过有限角位移Δθx＝π／4，再绕y轴逆时针转过Δθy＝π／4，合成效果是P的初位矢r0经r1移动到r12，P点经P1到达图5-53中的P12处．交换转动顺序，即先取Δθy＝π／4，后取Δθx＝π／4，合成效果是r0经r2移动到r21，P点经P2到达P21处．通过赋予相应方向，将有限角位移Δθx，Δθy分别改造成有方向的量

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1700982501 图　5-53

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1700982503 如果它们确是空间矢量，至少要求按平行四边形法则合成的

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1700982508 是唯一的，P点按Δθ转动的结果必定也是唯一的，且与先Δθx后Δθy或先Δθy后Δθx的转动结果都一致．图5-53中P12，P21明显分离，不能符合这一要求．这就表明，刚体定点转动中有限角位移不可通过赋予其方向，构成三维空间矢量．从P点的运动效果考察，P12与P21之所以不重合，是因为P点在球面上运动，不是在平面上运动．有限角位移让P点运动的球面性得到表现，结果是P12与P21分离．

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1700982510 据上述讨论得到启发，参照图5-53，Δθx，Δθy取得越小，P1和P12，P2和P21越是靠近P点，当Δθx，Δθy取为无穷小量，可改记成dθx，dθy时，P1和P12，P2和P21均在过P点的切平面σ上，四个无穷小位移矢量

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