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例12 如图7-31所示，劲度系数为k、质量为m的均匀水平弹簧一端固定，另一端连接质量为M的小球，小球与水平地面间无摩擦．让小球偏离平衡位置x＝0点，自由释放后便可沿图示的x轴振动．在弹簧无形变时，以固定端为原点沿弹簧设置向右的ξ坐标．设小球振动量为x时，弹簧中原ξ点的振动量（即相对其初始位置的位移量）为uξ＝（ξ／l0）x，式中l0是弹簧自由长度．这一假设也可简单地说成：弹簧各处振动量与小球振动量成正比．作此假设后，试求小球振动周期T．
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图 7-31
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解 弹簧为原长l0时，在ξ邻域取dξ段，它的质量为
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小球从平衡位置x＝0点移位到x时，dξ弹簧段相对其初始位置的位移量为
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若小球振动速度为v，则dξ弹簧段的振动速度为
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具有的动能为
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整个弹簧的动能便是
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系统总能量为
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两边对t求导，因E为守恒量，可得
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小球振动的角频率和周期分别为
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