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图 8-3
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爱因斯坦认为需要有依据地找出｛x，y，z，t｝和｛x′，y′，z′，t′｝之间的变换关系，这一依据便是光速不变原理．由此变换关系可导得的关于时空度量相对性的诸多结论中，最有悖于经典“常理”的，当数运动尺缩和运动时钟变慢．其实时钟之间的快慢差异有两个方面的含义，其一是零点校准的差异，其二是“走”得快慢的差异，“走”得快慢也可称为计时率．于是，可将世人最感兴趣的上述结论整理为：（1）时钟零点校准的差异（“同时”的相对性）；（2）运动直尺的长度收缩（空间间距度量的相对性）；（3）运动时钟计时率的变慢（时间间隔度量的相对性）．定量推导，将在后文给出．就逻辑关系而言，由光速不变原理首先可定性导出（1），由（1）可定性导出（2），由（2）可定性导出（3）．
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8.2.2 时空度量的相对性
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一、各惯性系中的时空度量
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狭义相对论认定各惯性系自身的空间具有欧几里得几何性质．为测量运动质点的位置，最简单的可设置相对惯性系S静止的三维直角坐标框架Oxyz，并用一把直尺在坐标轴上画定各点的坐标量．直尺两个端点之间的空间距离称为直尺长度，设定某直尺的长度为1个单位，将此直尺长度10等分，100等分，…，又可获得更小的长度单位．坐标轴上任何两点的空间间距可用这把直尺量度，规定坐标原点的坐标量为零后，坐标轴上其他点的坐标量便可画定．每一次度量时，直尺必须相对S系静止，但在相邻两次度量之间，直尺必定处于运动状态．爱因斯坦设想存在静态长度与其曾经有过的运动无关的直尺①，可以说这就是狭义相对论中的理想直尺．在同一惯性系中可以有许多理想直尺．惯性系S中的理想直尺移动到惯性系S′后，即为S′系中的理想直尺．因此可以约定，各惯性系取同一把理想直尺静止在本惯性系时的长度定为1个长度单位．
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为测量运动质点在S系中处于某个空间位置的时刻，S系需在所有空间点设置度量时间的时钟．与坐标轴一样，时钟必须静止于所在位置上，否则它们度量的将不是S系的时间．S系中这些时钟首先需要校准零点，如果将时钟放在同一位置上拨好零点后再返自己原来的位置，那么运动可能造成的时钟计时率变化会使零点校准失效．光速不变原理为时钟零点校准提供了解决的方案．例如图8-4的x轴上O，A两处假设相距1个长度单位，令O处时钟指零时朝A发射光信号，S系认为O处时钟读数显示为1个单位（不妨说成1小时）的事件与光信号到达A的事件应是同时发生的．因此，A在接收到光信号时可将它的时钟拨到1个单位（例如1:00），这就实现了A，O两处时钟之间零点的间接校准．S系中其他时钟之间，均可采用同样的方法间接地校准零点．可以看出，时钟零点校准的基础是依据光速不变原理对S系中不同位置发生的两个事件之间同时性的认可．
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图 8-4
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S系中还需依据光速不变原理为所有时钟校准它们的计时率．任取两处A，B，设A处时钟读数为tA时从A处朝B发出光信号，B处时钟读数为tB时接收到光信号，并立即朝A发出应答光信号，A处时钟读数为时接收到应答信号．如果A，B时钟走得一样快慢，即计时率相同，按光速不变原理，必有．据此，便可校准S系中各时钟的计时率．
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至此，各惯性系取同一把理想直尺建立了自身的空间度量系统，又依据光速不变原理建立了各自的时间度量系统．
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二、惯性系间时空度量的相对性
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每一个惯性系可依据光速不变原理建立自身的时间度量系统，但各自认定的是光相对本惯性系的真空传播速度为常量c，而光相对其他惯性系的真空传播速度却并不是c．于是，便会引发惯性系之间时空度量的差异，这就是时空度量相对性的表现．
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（1）时钟零点校准的差异（“同时”的相对性）
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设惯性系S，S′间的相对运动关系如图8-5所示，令坐标原点O，O′相遇时刻，S系中将静止在O点的时钟拨到t＝0，S′系中将静止在O′点的时钟拨到t′＝0，使两个惯性系之间有了共同的计时零点．
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图 8-5
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S，S′系各自为校准其他时钟零点，可在O，O′相遇处放置光源P，在O，O′相遇时刻，P沿着图8-5中的左、右两个方向分别发出光信号．S系中如果x轴上的A，B两点与O点的间距都是1个长度单位，那么A，B各自在接收到光信号时，可分别将静止在A，B的时钟拨到1个单位的读数上．为了方便，将1个单位时间说成1小时，则A，B时钟读数均为1:00．S′系中如果x′轴上的A′，B′两点与O′也相距1个长度单位，那么A′，B′各自在接收到光信号时也分别将自己的静止时钟拨到1:00．需要强调，S系不仅认为自己应当用这样的方法校准各处时钟零点，而且还认定S′系也应当用这样的方法校准S′系中各处时钟零点．然而其间存在差异，因为S系认为光相对S′系中A′的速度是c－v，传送到A′所需时间应大于1个单位时间，譬如说是1小时10分．故按S系计时系统，A′接收光信号的时刻为tA′＝1:10，但S′系已将A′时钟拨到．相互比较，于是S系认为S′系中A′时钟读数拨快了．S系还认为光相对B′的速度为c＋v，按S系计时系统，B′接收光信号的时刻，譬如说应为tB′＝0:51′26″，与比较，S系认为S′系中B′时刻读数拨慢了．同样的分析，可知S′系认为S系中A时钟的读数（1:00）拨快了（应为0:51′26″），B时钟的读数（1:00）拨慢了（应为1:10）．这就是惯性系之间时钟零点校准的差异．
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时钟零点校准的差异与同时的相对性是一致的．S′系中认为O′时钟读数显示为1:00的事件和光信号到达A′事件以及光信号到达B′事件是同时发生的，因此A′，B′时钟应与O′时钟一致地指示在1:00．S系则认为这三个事件不是同时发生的，其中第三个事件发生得最早（0:51′26″），第二个事件发生得最晚（1:10）．顺便一提，O′时钟读数为1:00的时刻，在S系的计时系统中并非对应1:00，而是tO′＞1:00（由后文给出的定量变换公式可知tO′＝1:0′43″），这是因为S系认为O′时钟的计时率会因运动而变慢．
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（2）运动直尺的长度收缩（空间间距度量的相对性）
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直尺A′B′静止在S′系的x轴上，两个端点的坐标之间的差值即为直尺的静止长度，即有