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那么可以猜想到也许有如下的幂级数展开：
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这一幂级数称为泰勒（Taylor）级数．若有这样的展开，令x＝x0，即得A0＝y（x0）．展开式两边先对x求导，再取x＝x0，可得A1＝y′（x0）．如此进行下去，相继可得
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并非所有函数都可展开成泰勒级数，因为y（x）是有限的，所以至少要求
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事实上还有更严格的要求，高等数学课程中会专门讨论．
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函数y（x）若能在x0两侧某范围内展开成泰勒级数，便称这一范围为y（x）的收敛区域．例如，数学上可以证得：
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x0＝0的泰勒级数，也称为马克劳林（Maclaurin）级数．
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由复数自变量z构成的某些复变函数F（z），也可展开成与上面形式相同的泰勒级数和马克劳林级数．
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例9 导出y＝ex，y＝cosx，y＝sinx的马克劳林级数．
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解 （1）y＝ex，有
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（2）y＝cosx，有
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（3）y＝sinx，有
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例10 导出欧拉公式e1x＝cosx＋isinx，其中i为单位虚数，x为实变量．
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解 仿照ex的马克劳林级数展开，考虑到
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