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附-22 安培力.
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(1)匀强磁场中一个任意形状的单连通闭合电流线圈,若其中电流处处相同,试证它所受的安培力为零.
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(2)匀强磁场中,试证相同的电流从空间任意一点a经过不同的曲线(包括直线)段到达空间另一点b,所受到的安培力相同.
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(3)匀强磁场中,日字形电阻网络如图所示,电流I从a端流入,d端流出,网络内形成电流分布.试证此网络电流所受安培力,等于电流I从a端经过直线段到达d端时所受安培力.
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附-22 题
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附-23 k维正方体.
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3维空间正方体有8个顶点,12条棱,6个面.若棱长为a,它的体积V3=a3,面积S3=6a2.
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为了一致,可将2维空间的正方形规范地称作2维空间的正方“体”,原正方形的边成为这个正方“体”的“面”,“面”与棱重合.2维空间正方“体”有4个顶点,4条棱,4个“面”.若棱长为a,它的“体积”V2=a2,“面积”S2=4a.
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同样,1维空间的一条线段可称作1维空间的正方“体”,则“体”与棱重合,原线段的顶点成为这个正方“体”的“面”,即“面”与顶点重合.1维空间正方“体”有2个顶点,1条棱,2个“面”.若棱长为a,它的“体积”V1=a,“面积”S1=2.
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(1)从度量的角度分析,为什么数学上给出S1=2?
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(2)对k维空间正方体,用递归方法求出它的顶点数、棱数和面数;若棱长为a,再求它的体积Vk和面积Sk.
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附-24 加速度的分解计算.
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质点P沿半径为R的圆周逆时针方向运动,转过的圆心角对时间的变化率称为角速度,记作ω,角速度对时间的变化率称为角加速度,记作β.任一时刻质点的加速度a可分解为沿圆运动切线方向的分量a切和指向圆心的分量a心,试求a切与a心.
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附-25 加速度的整体计算.
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水平面上有一固定圆环,细绳绕在环的外侧,一端连接小球P.让P在此水平面上运动,使环上的绳不断打开.设打开的绳始终处于拉直状态,P的速度v大小恒定,且总与绳长方向垂直,如图所示.当打开的绳段长为l时,试求P的加速度a.
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附-25题
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附-26 k维球.
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3维空间球的表面方程为x2+y2+z2=R2,R为半径,面积S3=4πR2,体积圆是2维空间“球”,圆周是它的“球面”,方程为x2+y=R2,R为半径,“面积”(即圆周长)S2=2πR,“体积”(即圆面积)V2=πR2.直线段是1维空间“球”,两个端点是它的“面”,方程为x2=R2,R为半径,“面积”S1=2(参见题附-23),“体积”(即线段长度)V1=2R.k维空间球的球面方程可表述为++…+=R2,R为半径,面积记为Sk(R),体积记为Vk(R).试通过建立Vk(R)与Sk(R)的关系、Sk(R)与Sk-1(R)间的递归关系、Vk(R)与Vk-1(R)间的递归关系,求出Sk(R)和Vk(R)表达式.
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