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正方形中共包含多少个小圆圈?
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这个正方形共包含5×5=25个小圆圈。接下来,我们换一种方法来数上图中的小圆圈的个数。我们从左上角的第一个小圆圈开始数,它依次被3个、5个、7个和9个小圆圈包围,即:
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1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
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如果正方形的边长是n,我们就可以把它分成n个大小分别是1,3,5,…,(2n– 1)的L形区域(开口朝向左上角)。于是,我们得出前n个奇数的求和公式:
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1 + 3 + 5 + … + (2n–1) =n2
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我们将在本书后面的章节中看到,高等数学可以利用这种统计小圆圈个数的方法(以及通过两种不同方法回答一个问题的常规做法),得出一些非常有意思的结果。不过,我们也可以借助这种方法去理解初等数学,例如,为什么3 × 5 = 5 × 3。小时候,老师告诉我们,因数的先后次序不会影响乘积的大小(这在数学领域被称为乘法交换律)。我相信,你们当时根本没有怀疑它的准确性。但是,每袋装5枚弹珠、共3袋,和每袋装3枚弹珠、共5袋,弹珠的总数为什么一样多呢?数一数3 × 5的矩形中小圆圈的个数,就能理解其中的道理了。按行统计,我们看到一共有3行,每行有5个小圆圈,所以小圆圈的个数是3 × 5。但是,如果按列计算,那么一共有5列,每列3个小圆圈,因此小圆圈的个数是5 × 3。
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为什么3 × 5 = 5 × 3?
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利用奇数和的规律,我们还可以发现一个更加优美的规律。如果我们的目标是让这些数字跳舞,那么它们应该跳的是“方块舞”(square dancing)。
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你发现其中的规律了吗?每行数字的个数很容易数清楚,分别是3、5、7、9、11,等等。然而,下面这个规律却可能是大家想不到的。每行的第一个数字是多少?从前5行看,分别是1、4、9、16、25,它们都是完全平方数。为什么呢?我们以第5行为例。在第5行之前,一共出现了多少个数字?数一数前4行的数字,共有3 + 5 + 7 + 9个。在这个和的基础上加1,就可以得到第5行的第一个数字,所以,这个数字就是前5个奇数的和,即52。
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接下来,我们不用求和的方法,证明第5个等式成立。如果高斯遇到这种情况,他会怎么做呢?我们先不看这行的第一个数,也就是25,那么等号左边只剩下5个数,而且它们分别比等号右边的5个数小5。
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第5个等式左右两边数字的比较
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因此,等式右边5个数的和比等式左边除25之外的5个数的和大25。但是,两者之间的差正好被等式左边的第一个数字25弥补了,因此等式成立。利用同样的方法完成一些代数运算就可以证明,即使行数无限增加,这个规律也依然存在。
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下面,我把这些代数运算介绍给大家,如果你不感兴趣,可以略过不看。在第n行之前,有3 + 5 + 7 + … + (2n– 1) =n2– 1个数字,因此第n行的第一个数字是n2,后面有n个连续的数字,从n2+ 1至n2+n。等式右边有n个连续的数字,从n2+n+ 1至n2+ 2n。如果先不考虑等式左边的第一个数字n2,就会发现等式右边的n个数字分别比等式左边对应的n个数字大n,因此两者的差是n×n,即n2。如果加上左边第一个数字n2,等式就成立了。
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我们再讨论另外一个规律。我们已经知道,可以利用奇数得到平方数。现在,我们把下图大三角形中的所有奇数相加,看看得数有什么规律。
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奇数三角形
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我们发现3 + 5 = 8,7 + 9 + 11 = 27,13 + 15 + 17 + 19 = 64。数字1、8、27和64有什么共同点呢?它们都是“完全立方数”(perfect cubes)!例如,将第5行的5个数字相加,就会得到
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