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21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5×5×5 = 53
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这个规律似乎表明，第n行所有数字的和是n3。这是一个永恒的规律，还是一个奇特的巧合呢？为了理解这个规律，我们观察第1、3、5行，看看每行正中间的那个数字有什么特点。可以看到，这三个数字分别是完全平方数1、9和25。第2行和第4行的正中间不是数字，但是加号左右两边的两个数字分别是3、5和15、17，它们的平均数分别是4和16。这个规律如何加以利用呢？
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查看第5行我们就会发现，这5个数字关于25左右对称。因此无须相加，我们就可以知道它们的和是53。这是因为这5个数的平均值是52，它们的和是52+ 52+ 52+ 52+ 52= 5 ×52，即53。同理，第4行中4个数字的平均值是42，因此它们的和必然是43。通过一些代数运算（这里不再赘述），我们就能证明第n行中n个数字的平均值是n2，它们的和是我们预期的n3。
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关于立方数和平方数，我再给大家介绍一个规律吧。从13开始，将所有数字的立方数相加，这个和有什么特点呢？
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自然数的立方和肯定是一个完全平方数
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自然数的立方和分别是1、9、36、100、225，等等，它们都是完全平方数。而且，这些完全平方数还具有某种特点：它们是1、3、6、10、15…的平方数，而这些数字又都是三角形数！前文中已经讨论过，这些三角形数都是整数的和，因此
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13+ 23+ 33+ 43+ 53= 225 = 152=(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
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换句话说，前n个自然数的立方和等于前n个自然数的和的平方。现在，我们还不能证明这个结论是正确的，在第6章中我将为大家介绍两种相关的证明方法。
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12堂魔力数学课 [:1700993713]
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12堂魔力数学课 又快又准的心算法
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看着数字的这些规律，有人禁不住会问：“这些规律确实很有意思，但是它们有什么用处呢？”对于这样的问题，任何艺术家都会嗤之以鼻，因为在他们眼中，这些优美的规律本身就是一种美！大多数数学家也会有同样的反应。而且，对这些规律的理解越深入，就越能体会其中蕴藏的美。有的规律不仅优美，还可以用来解决某些实际问题。
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下面以一个我年轻时发现的简单规律为例。这个发现让我非常开心，尽管我并不是发现这个规律的第一人。当时，我正在求解和为20的两个数字（例如10和10，9和11）的最大乘积。我发现，当这两个数字都是10时，它们的乘积可能是最大的。结果，下图揭示的规律证实了我的猜想。
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和为20的两个数字的乘积
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这个规律没有任何错误。随着两个数字之间的差不断增大，它们的乘积却越来越小。这些乘积与100的差是多少呢？答案是1、4、9、16、25，也就是12、22、32、42、52，以此类推。这个规律是不是始终有效呢？我决定验证一下和为26的两个数字是否也符合这个规律。
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和为26的两个数字的乘积
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同样，当这两个数字相等时，它们的乘积最大，而且这些乘积与169的差依次为1、4、9，等等。在验证了几次之后，我确信这个规律是正确的。（我会在下文中用代数方法证明它。）然后我发现，我可以用这个规律快速地完成平方运算。
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假设要计算13的平方数。我们无须直接计算13 × 13，而可以进行更简单的计算：10×16 = 160。这个得数与正确答案已经非常接近了。由于这两个因数与13分别相差3，因此还需要在它们乘积的基础上加上32。即
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132=(10×16) + 32= 160 + 9 = 169
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再试一次，利用这个方法计算98 × 98。一个因数加上2等于100，另一个因数减去2等于96，在100×96的乘积基础上加上22。即
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