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自然数的立方和肯定是一个完全平方数
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自然数的立方和分别是1、9、36、100、225，等等，它们都是完全平方数。而且，这些完全平方数还具有某种特点：它们是1、3、6、10、15…的平方数，而这些数字又都是三角形数！前文中已经讨论过，这些三角形数都是整数的和，因此
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13+ 23+ 33+ 43+ 53= 225 = 152=(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
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换句话说，前n个自然数的立方和等于前n个自然数的和的平方。现在，我们还不能证明这个结论是正确的，在第6章中我将为大家介绍两种相关的证明方法。
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12堂魔力数学课 [:1700993713]
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12堂魔力数学课 又快又准的心算法
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看着数字的这些规律，有人禁不住会问：“这些规律确实很有意思，但是它们有什么用处呢？”对于这样的问题，任何艺术家都会嗤之以鼻，因为在他们眼中，这些优美的规律本身就是一种美！大多数数学家也会有同样的反应。而且，对这些规律的理解越深入，就越能体会其中蕴藏的美。有的规律不仅优美，还可以用来解决某些实际问题。
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下面以一个我年轻时发现的简单规律为例。这个发现让我非常开心，尽管我并不是发现这个规律的第一人。当时，我正在求解和为20的两个数字（例如10和10，9和11）的最大乘积。我发现，当这两个数字都是10时，它们的乘积可能是最大的。结果，下图揭示的规律证实了我的猜想。
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和为20的两个数字的乘积
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这个规律没有任何错误。随着两个数字之间的差不断增大，它们的乘积却越来越小。这些乘积与100的差是多少呢？答案是1、4、9、16、25，也就是12、22、32、42、52，以此类推。这个规律是不是始终有效呢？我决定验证一下和为26的两个数字是否也符合这个规律。
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和为26的两个数字的乘积
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同样，当这两个数字相等时，它们的乘积最大，而且这些乘积与169的差依次为1、4、9，等等。在验证了几次之后，我确信这个规律是正确的。（我会在下文中用代数方法证明它。）然后我发现，我可以用这个规律快速地完成平方运算。
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假设要计算13的平方数。我们无须直接计算13 × 13，而可以进行更简单的计算：10×16 = 160。这个得数与正确答案已经非常接近了。由于这两个因数与13分别相差3，因此还需要在它们乘积的基础上加上32。即
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132=(10×16) + 32= 160 + 9 = 169
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再试一次，利用这个方法计算98 × 98。一个因数加上2等于100，另一个因数减去2等于96，在100×96的乘积基础上加上22。即
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982=(100×96) + 22= 9 600 + 4 = 9 604
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如果某个数的个位数是5，进行平方运算时就会特别简单，因为该数字分别加、减5之后，两个因数的个位数都是0。例如：
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352=(30×40) + 52= 1 200 + 25 = 1 225
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552=(50×60) + 52= 3 000 + 25 = 3 025
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852=(80×90) + 52= 7 200 + 25 = 7 225
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