打字猴:1.7009939e+09
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1700993901 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) =n2
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1700993903 延伸阅读
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1700993905 我们将在本书后面的章节中看到,高等数学可以利用这种统计小圆圈个数的方法(以及通过两种不同方法回答一个问题的常规做法),得出一些非常有意思的结果。不过,我们也可以借助这种方法去理解初等数学,例如,为什么3 × 5 = 5 × 3。小时候,老师告诉我们,因数的先后次序不会影响乘积的大小(这在数学领域被称为乘法交换律)。我相信,你们当时根本没有怀疑它的准确性。但是,每袋装5枚弹珠、共3袋,和每袋装3枚弹珠、共5袋,弹珠的总数为什么一样多呢?数一数3 × 5的矩形中小圆圈的个数,就能理解其中的道理了。按行统计,我们看到一共有3行,每行有5个小圆圈,所以小圆圈的个数是3 × 5。但是,如果按列计算,那么一共有5列,每列3个小圆圈,因此小圆圈的个数是5 × 3。
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1700993910 为什么3 × 5 = 5 × 3?
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1700993912 利用奇数和的规律,我们还可以发现一个更加优美的规律。如果我们的目标是让这些数字跳舞,那么它们应该跳的是“方块舞”(square dancing)。
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1700993917 你发现其中的规律了吗?每行数字的个数很容易数清楚,分别是3、5、7、9、11,等等。然而,下面这个规律却可能是大家想不到的。每行的第一个数字是多少?从前5行看,分别是1、4、9、16、25,它们都是完全平方数。为什么呢?我们以第5行为例。在第5行之前,一共出现了多少个数字?数一数前4行的数字,共有3 + 5 + 7 + 9个。在这个和的基础上加1,就可以得到第5行的第一个数字,所以,这个数字就是前5个奇数的和,即52。
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1700993919 接下来,我们不用求和的方法,证明第5个等式成立。如果高斯遇到这种情况,他会怎么做呢?我们先不看这行的第一个数,也就是25,那么等号左边只剩下5个数,而且它们分别比等号右边的5个数小5。
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1700993924 第5个等式左右两边数字的比较
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1700993926 因此,等式右边5个数的和比等式左边除25之外的5个数的和大25。但是,两者之间的差正好被等式左边的第一个数字25弥补了,因此等式成立。利用同样的方法完成一些代数运算就可以证明,即使行数无限增加,这个规律也依然存在。
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1700993928 延伸阅读
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1700993930 下面,我把这些代数运算介绍给大家,如果你不感兴趣,可以略过不看。在第n行之前,有3 + 5 + 7 + … + (2n– 1) =n2– 1个数字,因此第n行的第一个数字是n2,后面有n个连续的数字,从n2+ 1至n2+n。等式右边有n个连续的数字,从n2+n+ 1至n2+ 2n。如果先不考虑等式左边的第一个数字n2,就会发现等式右边的n个数字分别比等式左边对应的n个数字大n,因此两者的差是n×n,即n2。如果加上左边第一个数字n2,等式就成立了。
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1700993932 我们再讨论另外一个规律。我们已经知道,可以利用奇数得到平方数。现在,我们把下图大三角形中的所有奇数相加,看看得数有什么规律。
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1700993937 奇数三角形
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1700993939 我们发现3 + 5 = 8,7 + 9 + 11 = 27,13 + 15 + 17 + 19 = 64。数字1、8、27和64有什么共同点呢?它们都是“完全立方数”(perfect cubes)!例如,将第5行的5个数字相加,就会得到
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1700993941 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5×5×5 = 53
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1700993943 这个规律似乎表明,第n行所有数字的和是n3。这是一个永恒的规律,还是一个奇特的巧合呢?为了理解这个规律,我们观察第1、3、5行,看看每行正中间的那个数字有什么特点。可以看到,这三个数字分别是完全平方数1、9和25。第2行和第4行的正中间不是数字,但是加号左右两边的两个数字分别是3、5和15、17,它们的平均数分别是4和16。这个规律如何加以利用呢?
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1700993945 查看第5行我们就会发现,这5个数字关于25左右对称。因此无须相加,我们就可以知道它们的和是53。这是因为这5个数的平均值是52,它们的和是52+ 52+ 52+ 52+ 52= 5 ×52,即53。同理,第4行中4个数字的平均值是42,因此它们的和必然是43。通过一些代数运算(这里不再赘述),我们就能证明第n行中n个数字的平均值是n2,它们的和是我们预期的n3。
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1700993947 关于立方数和平方数,我再给大家介绍一个规律吧。从13开始,将所有数字的立方数相加,这个和有什么特点呢?
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