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38×32 = (40×30) + (8×2) = 1 200 + 16 = 1 216
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当两个数字个位数的和为10时（例如38×32），计算起来尤为简单。（在38×32中，两个数的十位数都是3，个位数的和为8 + 2 = 10。）再举一例：
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83×87 = (80×90) + (3×7) = 7 200 + 21 = 7 221
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即使个位数的和不等于10，计算起来也不难。例如，在计算41×44时，可以将较小的那个数减去1（得到约整数40），然后将较大的那个数加上1，于是：
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41×44 = (40×45) + (1×4) = 1 800 + 4 = 1 804
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计算34×37时，如果把34减去4（得到约整数30），与它相乘的数就会变成37 + 4 = 41，再加上4×7：
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34×37 = (30×41) + (4×7) = 1 230 + 28 = 1 258
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顺便告诉大家，前面介绍的104×109这道题的神秘算法只是本方法的一个应用而已。
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104×109 = (100×113) + （4×9）= 11 300 + 36 = 11 336
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有的学校要求学生背诵20以内的乘法表。使用上述方法，无须背乘法表，也可以快速算出答案。例如：
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17×18 = (10×25) + (7×8) = 250 + 56 = 306
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这个神奇的方法为什么有效呢？要回答这个问题，需要进行一些代数运算，我将在第2章做介绍。一旦学习了代数运算之后，我们就能找出新的计算方法。例如，17×18还可以这样解答：
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18×17=（20×15）+［（–2）×（–3）］=300+6=306
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说到乘法表，请仔细研究下面列出的一位数乘法表。高斯年少时应该会对这个问题感兴趣：这张乘法表中所有数的和是多少？请认真思考，看能不能找出一个简便的计算方法，我将在本章结尾揭晓答案。
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该乘法表中全部100个数字的和是多少？
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除法心算
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首先，我们看一个答案非常简单但在学校里不大可能学到的问题：
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（1）如果两个三位数相乘，你能立刻说出乘积是几位数吗？
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以及相关问题：
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（2）一个四位数与一个五位数相乘，乘积可能是几位数？
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我们花费了大量时间学习多位数的乘法和除法问题，但几乎没有考虑过答案有哪些重要特点。而且，了解答案的大致范围，比知道答案的最后一位数甚至首位数都重要得多。（知道答案的首位数是3，这毫无意义，除非你还知道这个答案更接近于30 000、300 000或3 000 000。）问题（1）的答案是五位数或六位数。为什么？因为符合条件的最小乘积是100×100 = 10 000，它是一个五位数。最大乘积999×999的答案肯定比1 000×1 000 = 1 000 000小，但只小一点儿。1 000 000是最小的七位数，因此999×999肯定是六位数。［当然，你也可以通过心算，很便利地算出最终得数：9992= (1 000×998) + 1 = 998 001。］也就是说，两个三位数的乘积肯定是五位数或六位数。
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问题（2）的答案是八位数或九位数。为什么？最小的四位数是1 000，也可以记作103（1后面有3个0）；最小的五位数是10 000= 104。因此，一个四位数与一个五位数的最小乘积是103×104= 107，它是一个八位数。［107是怎么得到的？103×104= (10×10×10)×(10×10×10×10) = 107。］而一个四位数与一个五位数的最大乘积只比104×105= 109这个十位数小一点儿，因此最后得数最多是九位数。
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根据上述分析，我们得出一个非常简单的规则：一个m位数与一个n位数相乘，乘积的位数为m+n或者m+n– 1。
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