1700994145
1700994146
17×18 = (10×25) + (7×8) = 250 + 56 = 306
1700994147
1700994148
这个神奇的方法为什么有效呢？要回答这个问题，需要进行一些代数运算，我将在第2章做介绍。一旦学习了代数运算之后，我们就能找出新的计算方法。例如，17×18还可以这样解答：
1700994149
1700994150
18×17=（20×15）+［（–2）×（–3）］=300+6=306
1700994151
1700994152
说到乘法表，请仔细研究下面列出的一位数乘法表。高斯年少时应该会对这个问题感兴趣：这张乘法表中所有数的和是多少？请认真思考，看能不能找出一个简便的计算方法，我将在本章结尾揭晓答案。
1700994153
1700994154
1700994155
1700994156
1700994157
该乘法表中全部100个数字的和是多少？
1700994158
1700994159
除法心算
1700994160
1700994161
首先，我们看一个答案非常简单但在学校里不大可能学到的问题：
1700994162
1700994163
（1）如果两个三位数相乘，你能立刻说出乘积是几位数吗？
1700994164
1700994165
以及相关问题：
1700994166
1700994167
（2）一个四位数与一个五位数相乘，乘积可能是几位数？
1700994168
1700994169
我们花费了大量时间学习多位数的乘法和除法问题，但几乎没有考虑过答案有哪些重要特点。而且，了解答案的大致范围，比知道答案的最后一位数甚至首位数都重要得多。（知道答案的首位数是3，这毫无意义，除非你还知道这个答案更接近于30 000、300 000或3 000 000。）问题（1）的答案是五位数或六位数。为什么？因为符合条件的最小乘积是100×100 = 10 000，它是一个五位数。最大乘积999×999的答案肯定比1 000×1 000 = 1 000 000小，但只小一点儿。1 000 000是最小的七位数，因此999×999肯定是六位数。［当然，你也可以通过心算，很便利地算出最终得数：9992= (1 000×998) + 1 = 998 001。］也就是说，两个三位数的乘积肯定是五位数或六位数。
1700994170
1700994171
问题（2）的答案是八位数或九位数。为什么？最小的四位数是1 000，也可以记作103（1后面有3个0）；最小的五位数是10 000= 104。因此，一个四位数与一个五位数的最小乘积是103×104= 107，它是一个八位数。［107是怎么得到的？103×104= (10×10×10)×(10×10×10×10) = 107。］而一个四位数与一个五位数的最大乘积只比104×105= 109这个十位数小一点儿，因此最后得数最多是九位数。
1700994172
1700994173
根据上述分析，我们得出一个非常简单的规则：一个m位数与一个n位数相乘，乘积的位数为m+n或者m+n– 1。
1700994174
1700994175
通常，只需要看每个数字的首位数（最左边的那个数），就可以判断出乘积的位数。如果两个数字首位数的乘积是10或者大于10，那么它们的乘积肯定为m+n位数。（以271×828为例，它们首位数的乘积是2×8 = 16，因此答案是六位数。）如果首位数的乘积是4或者小于4，答案就是m+n– 1位数。（例如，314×159的乘积为五位数。）如果首位数的乘积是5、6、7、8或9，则需要仔细思考。（例如，222×444的乘积是五位数，但234×456的乘积是六位数。这两个得数都非常接近100 000，这是其位数不易确定的一个重要原因。）
1700994176
1700994177
把上述规则反过来，可以得到一个更简单的除法规则：一个m位数被一个n位数除，商的位数是m–n或者m–n+ 1。
1700994178
1700994179
例如，一个九位数被一个五位数除，得数肯定是四位数或者五位数。判断到底哪个答案正确的规则，甚至比乘法问题的相关规则还要简单。在这里，我们无须对首位数进行乘法或者除法运算，而是对两个首位数进行比较即可。如果第一个数字（被除数）的首位数比第二个数字的首位数小，答案就是小的那个选项（m–n）。如果第一个数字的首位数大于第二个数字的首位数，答案就是大的那个选项（m–n+ 1）。如果两个数字的首位数相同，就需要比较第二个数位上的数字，具体过程同上。例如，314 159 265被12 358除时，商是五位数；但它被62 831除时，商则是四位数。161 803 398被14 142除时，商是五位数，因为16大于14。
1700994180
1700994181
除法的心算过程与纸笔运算比较相似，我在这里就不赘述了。（利用纸笔做除法运算时，计算次序一定是从左至右，直到最后得出答案！）但是有时候，一些捷径可以为我们提供便利。
1700994182
1700994183
除数是5（或者个位数是5的任何数字）时，将分子、分母同时乘以2，通常会降低计算的难度。例如：
1700994184
1700994185
1700994186
1700994187
1700994188
在分子、分母同时乘以2之后，你也许会发现246和9都可以被3整除（我们将在第3章详细讨论这方面的内容），于是，将分子、分母同时除以3，可以进一步简化计算。
1700994189
1700994190
延伸阅读
1700994191
1700994192
看一下从1到10的数字的倒数：
1700994193
1700994194
1 / 2 = 0.5，1 / 3 = 0.333…，1 / 4 = 0.25，1 / 5 = 0.2，