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负数与负数的乘积是正数，这是为什么？例如，为什么 (–5)×(–7)= 35？针对这个问题，老师们给出了各种各样的解释。有的以抵销债务打比方，有的干脆说“就是这样的，没有什么道理可讲”。但是，真正的原因在于，我们希望分配律不仅适用于正数，而且适用于所有的数字。如果分配律对负数（和零）同样有效，就必须符合上述规则。下面，我来解释其中的道理。
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假设我们承认 –5×0 = 0，–5×7 = –35。（我们也可以证明这两个等式是成立的，但是大多数人宁愿把它们作为一种事实来接受。）现在，观察下面这个算式：
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–5×(–7 + 7)
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它的得数是多少呢？从一个方面看，它等于 –5×0，而且我们已经知道 –5×0=0。从另一个方面看，我们可以利用分配律将它变形为［(–5)×(–7)］+ (–5×7)。因此：
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［(–5)×(–7)］+(–5×7) =［(–5)×(–7)］–35 = 0
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而且，由于［(–5)×(–7)］–35 = 0，由此可推导出(–5)× (–7)= 35。总之，无论a、b的值是多少，分配律都可以确保 (–a)×(–b) =ab成立。
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12堂魔力数学课 [:1700993717]
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12堂魔力数学课 奇妙的FOIL法则
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代数中的FOIL法则是分配律产生的一个重要结果。对于任意变量a、b、c、d，都有：
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(a+b) (c+d) =ac+ad+bc+bd
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FOIL是“First–Outer–Inner–Last”（首—外—内—末）的英文首字母缩写。在上式中，ac是 (a+b) (c+d)的两个首项的乘积，ad是外侧的两项乘积，bc是内部的两项乘积，bd是两个末项的乘积。
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下面，我们利用FOIL法则来求两个数字的乘积：
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23×45 = (20 + 3)×(40 + 5)
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=20×40 + 20×5 + 3×40 + 3×5
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= 800 + 100 + 120 + 15
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= 1 035
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FOIL法则为什么成立呢？根据分配律（我们把求和的部分写到前面），可以得到：
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(a+b)e=ae+be
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如果用c+d代替e，上式就会变成：
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(a+b) (c+d) =a(c+d) +b(c+d) =ac+ad+bc+bd
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而且，在最后一步运算中再次应用了分配律。如果大家愿意，也可以利用几何证明法（在a、b、c都是整数时）。请利用两种不同的方法计算如下长方形的面积。
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