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一方面，长方形的面积是 (a+b) (c+d)。另一方面，我们可以将大长方形分成4个小长方形，它们的面积分别是ac、ad、bc和bd。因此，大长方形的面积又等于ac+ad+bc+bd。把这两个面积的表达式放在一起，就得到了FOIL法则。
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下面，我向大家介绍FOIL法则的一个奇妙应用。按照下列指示，抛掷两个色子。假设你抛出这两个色子之后，一个色子朝上的一面是6个点，另一个是3个点。它们朝下的一面分别是1个点和4个点。
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在这个例子中，最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子，重复上述步骤，最后的得数都是一样的。这是因为，每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此，当色子朝上一面的点数是x和y时，那么朝下一面的点数就必然是7 –x和7 –y。利用代数知识，上述步骤就会变成：
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请注意，在第三步我们应用了FOIL法则（还请注意，–x乘以–y得到正的xy）。换一个代数运算较少的方法，最终也能得出49。观察每一步，就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开［x+ (7 –x)］［y+ (7 –y)］后得到的4项。
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在课堂上学习代数时，FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式：
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(x+ 3) (x+ 4) =x2+ 4x+ 3x+ 12 =x2+ 7x+ 12
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我们注意到，在最终的算式中，7［被称作x项的“系数”（coefficient）］正好是数字3和4的和，12［被称作“常数项”（constant term）］则是3和4的乘积。例如，由于5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我们立刻就可以得出：
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(x+ 5) (x+ 7) =x2+ 12x+ 35
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这个规律对于负数同样有效，下面我列举几例。在第一个例子中，我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
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(x+ 6) (x– 2) =x2+ 4x– 12
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(x+ 1) (x– 8) =x2– 7x– 8
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(x– 5) (x– 7) =x2– 12x+ 35
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以下是数字相同时的乘法算式实例。
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(x+ 5)2= (x+ 5) (x+ 5) =x2+ 10x+ 25
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(x– 5)2= (x– 5) (x– 5) =x2– 10x+ 25
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请注意，(x+ 5)2≠x2+ 25！代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时，当这些相同数字前面的正负号正好相反时，就会出现一个有趣的现象。例如，由于5 + (– 5) = 0，因此：
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(x+ 5)(x– 5) =x2+ 5x– 5x– 25 =x2– 25
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总的来说，平方差（difference of squares）公式值得我们背下来：
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(x+y)(x–y) =x2–y2
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我们在第1章学习平方数的简便运算时用过这个公式，当时依据的代数知识是：
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A2= (A+d) (A–d) +d2
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