1700994445
在这个例子中，最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子，重复上述步骤，最后的得数都是一样的。这是因为，每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此，当色子朝上一面的点数是x和y时，那么朝下一面的点数就必然是7 –x和7 –y。利用代数知识，上述步骤就会变成：
1700994446
1700994447
1700994448
1700994449
1700994450
请注意，在第三步我们应用了FOIL法则（还请注意，–x乘以–y得到正的xy）。换一个代数运算较少的方法，最终也能得出49。观察每一步，就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开［x+ (7 –x)］［y+ (7 –y)］后得到的4项。
1700994451
1700994452
在课堂上学习代数时，FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式：
1700994453
1700994454
(x+ 3) (x+ 4) =x2+ 4x+ 3x+ 12 =x2+ 7x+ 12
1700994455
1700994456
我们注意到，在最终的算式中，7［被称作x项的“系数”（coefficient）］正好是数字3和4的和，12［被称作“常数项”（constant term）］则是3和4的乘积。例如，由于5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我们立刻就可以得出：
1700994457
1700994458
(x+ 5) (x+ 7) =x2+ 12x+ 35
1700994459
1700994460
这个规律对于负数同样有效，下面我列举几例。在第一个例子中，我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
1700994461
1700994462
(x+ 6) (x– 2) =x2+ 4x– 12
1700994463
1700994464
(x+ 1) (x– 8) =x2– 7x– 8
1700994465
1700994466
(x– 5) (x– 7) =x2– 12x+ 35
1700994467
1700994468
以下是数字相同时的乘法算式实例。
1700994469
1700994470
(x+ 5)2= (x+ 5) (x+ 5) =x2+ 10x+ 25
1700994471
1700994472
(x– 5)2= (x– 5) (x– 5) =x2– 10x+ 25
1700994473
1700994474
请注意，(x+ 5)2≠x2+ 25！代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时，当这些相同数字前面的正负号正好相反时，就会出现一个有趣的现象。例如，由于5 + (– 5) = 0，因此：
1700994475
1700994476
(x+ 5)(x– 5) =x2+ 5x– 5x– 25 =x2– 25
1700994477
1700994478
总的来说，平方差（difference of squares）公式值得我们背下来：
1700994479
1700994480
(x+y)(x–y) =x2–y2
1700994481
1700994482
我们在第1章学习平方数的简便运算时用过这个公式，当时依据的代数知识是：
1700994483
1700994484
A2= (A+d) (A–d) +d2
1700994485
1700994486
我们先验证这个公式是否成立。根据平方差公式，我们发现[ (A+d) (A–d)] +d2=（A2–d2） +d2=A2。因此，无论A和d的值是多少，该公式都成立。在实际应用中，A是平方运算的底数，d是该数与其最接近的简便数字之差。例如，在求97的平方数时，我们取d= 3，于是：
1700994487
1700994488
972= (97 + 3)(97 – 3) + 32
1700994489
1700994490
= (100×94) + 9
1700994491
1700994492
= 9 409
1700994493
1700994494
延伸阅读