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在这个例子中,最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子,重复上述步骤,最后的得数都是一样的。这是因为,每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此,当色子朝上一面的点数是x和y时,那么朝下一面的点数就必然是7 –x和7 –y。利用代数知识,上述步骤就会变成:
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请注意,在第三步我们应用了FOIL法则(还请注意,–x乘以–y得到正的xy)。换一个代数运算较少的方法,最终也能得出49。观察每一步,就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开[x+ (7 –x)][y+ (7 –y)]后得到的4项。
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在课堂上学习代数时,FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式:
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(x+ 3) (x+ 4) =x2+ 4x+ 3x+ 12 =x2+ 7x+ 12
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我们注意到,在最终的算式中,7[被称作x项的“系数”(coefficient)]正好是数字3和4的和,12[被称作“常数项”(constant term)]则是3和4的乘积。例如,由于5 + 7 = 12,5×7 = 35,因此我们立刻就可以得出:
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(x+ 5) (x+ 7) =x2+ 12x+ 35
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这个规律对于负数同样有效,下面我列举几例。在第一个例子中,我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
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(x+ 6) (x– 2) =x2+ 4x– 12
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(x+ 1) (x– 8) =x2– 7x– 8
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(x– 5) (x– 7) =x2– 12x+ 35
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以下是数字相同时的乘法算式实例。
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(x+ 5)2= (x+ 5) (x+ 5) =x2+ 10x+ 25
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(x– 5)2= (x– 5) (x– 5) =x2– 10x+ 25
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请注意,(x+ 5)2≠x2+ 25!代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时,当这些相同数字前面的正负号正好相反时,就会出现一个有趣的现象。例如,由于5 + (– 5) = 0,因此:
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(x+ 5)(x– 5) =x2+ 5x– 5x– 25 =x2– 25
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总的来说,平方差(difference of squares)公式值得我们背下来:
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(x+y)(x–y) =x2–y2
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我们在第1章学习平方数的简便运算时用过这个公式,当时依据的代数知识是:
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A2= (A+d) (A–d) +d2
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我们先验证这个公式是否成立。根据平方差公式,我们发现[ (A+d) (A–d)] +d2=(A2–d2) +d2=A2。因此,无论A和d的值是多少,该公式都成立。在实际应用中,A是平方运算的底数,d是该数与其最接近的简便数字之差。例如,在求97的平方数时,我们取d= 3,于是:
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972= (97 + 3)(97 – 3) + 32
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= (100×94) + 9
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= 9 409
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