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在日常生活中，我们每天都会与抛物线打交道。一个物体（无论是棒球还是喷泉）被抛出之后，其运动轨迹近似于一条抛物线（如下图所示）。在设计汽车车头灯、望远镜、圆盘式卫星电视天线时，人们也都参考了抛物线的特点。
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喷泉示意图（其对应的抛物线为y= –0.03x2+0.08x+ 70）
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现在，我需要向大家介绍一些术语了。到目前为止，我们所讨论的都是“多项式”（polynomials），即数字与单个变量（例如x）的组合，其中变量x可以是正整数次幂的形式。最高的幂次被称为多项式的“次数”（degree）。例如，3x+ 7是次数为1的（线性）多项式。次数为2的多项式（例如x2+ 4x– 12）被称为二次多项式（quadratic）。次数为3的多项式（例如5x3– 4x3–）被称为三次多项式（cubic）。次数为4和5的多项式分别叫作四次多项式（quartic）和五次多项式（quintic）。（我没听说过有哪些专有名词可以表示次数更高的多项式，主要原因是这样的多项式在现实中很少见。7次多项式是不是可以用“septic”这个英文单词来表示呢？有人认为可以，但我觉得并不好。）不含有变量的多项式（例如多项式17）的次数为0，被称为常数多项式。最后，多项式不允许包含无穷多项。例如，1 +x+x2+x3+ …不是多项式。［它是一个“无穷级数”（infinite series），我将在第12章详细介绍这个概念。］
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注意，多项式中变量的次数只能是正整数，而不能是负数或者分数。例如，如果方程式中含有1 /x或者等项，我们就不能称其为多项式，因为我们知道1 /x=x–1，=x1 / 2。
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我们把多项式的“根”（roots）定义为当该多项式等于0时x的值。例如，3x+ 7有一个根，即x= –7 / 3。x2+ 4x– 12的根是x= 2和x= – 6。有的多项式（例如x2+ 9）没有（实）根。注意，所有的一次多项式（直线）都有且只有一个根，因为这条直线与x轴有且只有一个交点。二次多项式（抛物线）最多有两个根。多项式x2+ 1、x2和x2– 1分别有0、1和2个根。
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y=x2+ 1和y=x2– 1的图像（这两个多项式分别有0和2个根。y=x2的图像在前文中已经给出，该多项式只有1个根）
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下图是三次多项式的图像。我们从图中可以看出，它们最多有3个根。
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y= (x3–8) / 10 =(x–2)(x2+ 2x+ 4)和y= (x3–7x+ 6)/ 2 =(x+ 3) (x–1) (x–2)的图像（这两个多项式分别有1和3个根）
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在本书第10章，我们将接触到“代数的基本定理”。该定理告诉我们，每个n次多项式最多有n个根，经过因式分解后，可以转变成线性多项式和二次多项式组合的形式。例如：
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(x3–7x+ 6) / 2 =(x–1) (x–2) (x+ 3)
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它有3个根（1、2和 –3），而x3– 8 = (x– 2) (x2+ 2x+ 4)只有一个实根，即x= 2。（它还有两个复根，但要到第10章我们才会讲到这些概念。）顺便告诉大家，现在只要在我们常用的搜索引擎中输入方程式，就可以方便地得到大多数函数的图像。例如，输入“y= (x3–7x+ 6) / 2”，就可以得到一个与上图类似的图像。
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我们在本章已经学习了如何方便地找到线性和二次多项式的根。事实上，三次和四次多项式也有求根公式，但都极其复杂。这些公式是在16世纪被找到的，在随后200多年的时间里，人们试图找到五次多项式的一般求根公式。众多天才数学家前赴后继地投身于这项研究，结果都徒劳无功。19世纪初，挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）成功地证明了五次以及更高次的多项式不可能有通用的求根公式。他为世人留下了一个只有数学界才能参透其中玄机的谜题：为什么艾萨克·牛顿没有证明五次多项式没有一般求根公式的不可能定理呢？答案是：他不是阿贝尔！[4]我们将在本书第6章讨论如何证明不可能性。
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延伸阅读
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为什么x–1= 1 /x呢，例如，5–1= 1 / 5？请观察下列数字，找出其中的规律：
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53= 125，52= 25，51= 5，50= ?，5–1= ?，5–2=?
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注意，只要我们认真思考，就会发现：指数减去1，这个数字就要被5除。要让这个规律成立，我们就需要让50= 1，5–1= 1 / 5，5–2= 1 / 25，以此类推。不过，真正的原因是“指数法则”。指数法则指出，xaxb=xa+b。当a、b是正整数时，指数法则不难理解。例如，x2=x·x，x3=x·x·x。因此：
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x2·x3= (x·x) (x·x·x) =x5
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