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这4个数字分别是π（参见本书第8章）的前四位数、e（参见本书第10章）的前四位数、斐波那契数列（参见本书第5章）的第3项至第6项，以及最大的四位数。然后，请他们任选一个三位数，与他们选择的那个四位数相乘。乘积是一个六位数或者七位数，但你不可能知道。接下来，请他们默想着把乘积的某个数位上的数字圈起来。但圈起来的那个数字不可以是0，因为0本身已经像一个圆了。再请他们按照任意次序，把剩下的数字列出来，同时集中注意力想着那个被圈起来的数字。这时，你只需稍动脑筋，就可以说出他们圈起来的那个数字到底是几。
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这个魔术的奥秘是什么？请注意，你在魔术开始时给出的所有4个数字都是9的倍数。与整数相乘后，积仍是9的倍数。因此，所有数位上的数字之和也是9的倍数。在观众向你报数后，你只需将它们相加，把得到的和与观众圈起来的那个数字相加，也应该是9的倍数。例如，假设观众报出的数是5、0、2、2、6和1。这些数字的和是16，与之最接近的9的倍数是18，因此他们圈起来的那个数字必然是2。如果观众报出来的数字是1、1、2、3、5和8，它们的和是20，那么还需要加上7才能凑成27。假设观众报出来的数字之和是18，那么被圈起来的数字是几呢？既然我们告诉他们在圈数字时不要选择0，那么这个数字必然是9。
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为什么9的倍数的各个数位上的数字相加之后仍然是9的倍数呢？我们通过一个例子来分析其中的道理。我们可以利用10的整数次幂，把数字3 456变成下面这种形式：
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3 456 =3×1 000 +4×100 +5×10 + 6
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= 3×(999 + 1) + 4× (99 + 1) + 5× (9 + 1) + 6
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= 3×999 + 4×99 + 5×9 + 3 + 4 + 5 + 6
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=9的倍数 + 18
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= 9的倍数
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同理，对于任意一个数字，如果其各个数位上的数字之和是9的倍数，那么这个数字本身也必然是9的倍数（反之亦然，只要某个数字是9的倍数，它的各个数位上的数字之和就必然是9的倍数）。
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12堂魔力数学课 [:1700993723]
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12堂魔力数学课 弃九法与加减乘除运算
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如果某个数字的各个数位上的数字之和不是9的倍数，会怎么样呢？例如，我们考虑数字3 457的情况，它的各个数位上的数字之和是19。按照上述步骤，我们可以把3 457写成3×999 + 4 ×99 + 5×9 +7 + 12的形式。由此可以看出，3 457比9的某个倍数多出7 + 12 = 19。由于19 = 18 + 1，这说明3 457比9的某个倍数仅大1。把19的各个数位上的数字相加，和是10，再将10的各个数位上的数字相加，和是1。我把这个过程表示为：
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3 457→19→10→1
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将一个数字各个数位上的数相加并不断重复该步骤，直至得到一个一位数，这就是所谓的“弃九法”（casting out nines），因为每次相加之后都会减去一个9的倍数。该过程最后得到的那个一位数叫作原始数字的“数根”（digital roots）。例如，3 457的数根是1，3 456的数根是9。简言之，对于任意正数n：
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如果n的数根是9，n就是9的倍数。否则，n的数根就是n被9除之后得到的余数。
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用代数形式来表示，即如果n有数根r，那么：
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n= 9x+r
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其中x是整数。弃九法有一个非常有趣的应用，可以用来检验加、减和乘法运算的得数是否正确。例如，如果某个加法运算是正确的，答案的数根就必然与两个加数的数根之和一致。举一个例子，下面是一道加法题：
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请注意，两个加数的数根分别是5和6，它们的和是11，11的数根是2。不出所料，这道题的答案134 651的数根也是2。其中的道理可以用下面这个代数式表示：
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(9x+r1) + (9y+r2) = 9 (x+y) + (r1+r2)
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如果数根不一致，就说明肯定有哪个地方出错了。切记，即使数根一致，也未必表示你的计算没有错误。但是，这个方法可以帮助你发现大约90%的随机错误。注意，如果你一不小心导致两个数位彼此错位，而数字没有出错，这种检验方法就不管用了，因为在数字正确、数位错位的情况下，数根不会发生变化。不过，如果只有一个数位出错，弃九法就可以找出这个错误，除非这个错误是把0当成了9，或者把9当成了0。在多数相加时，该方法同样有效。例如，假设你买了一堆东西，价格如下：
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